Zadanie 7 – matura z matematyki czerwiec 2014, poziom rozszerzony

Końcami odcinka są punkty \[A=(2,0),\qquad B=\left(\frac{26}{5},\frac{12}{5}\right)\] (w dowolnej kolejności).

Prosta zawierająca symetralną jest prostopadła do prostej \(AB\), więc ma współczynnik kierunkowy \(-\frac43\). Ponieważ przechodzi przez \(P=(0,6)\), jej równanie jest równe \[y=-\frac43x+6.\] Punkt przecięcia tej prostej z prostą zawierającą \(AB\) jest środkiem \(S\) odcinka. Rozwiązujemy układ \[\begin{cases}y=\frac34x-\frac32,\\y=-\frac43x+6.\end{cases}\] Otrzymujemy \[S=\left(\frac{18}{5},\frac65\right).\] Wektor kierunkowy prostej \(AB\) może mieć postać \((4,3)\), a jego długość wynosi \(5\). Połowa odcinka \(AB\) ma długość \(2\), więc wektor od środka do końca odcinka jest równy \[\frac25(4,3)=\left(\frac85,\frac65\right).\] Stąd końce odcinka to \[S-\left(\frac85,\frac65\right)=(2,0)\] oraz \[S+\left(\frac85,\frac65\right)=\left(\frac{26}{5},\frac{12}{5}\right).\]

**6 pkt** – poprawne współrzędne obu końców odcinka **5 pkt** – poprawna metoda wyznaczenia końców z pojedynczą usterką rachunkową albo równania liniowe prowadzące bezpośrednio do obu punktów **4 pkt** – poprawne wyznaczenie środka \(S\) i równania odległości końca od środka **3 pkt** – poprawne wyznaczenie środka \(S=(\frac{18}{5},\frac65)\) i wykorzystanie warunku \(|AS|=|BS|=2\) **2 pkt** – poprawne równanie symetralnej oraz układ wyznaczający środek odcinka **1 pkt** – poprawne równanie symetralnej \(y=-\frac43x+6\) **0 pkt** – rozwiązanie błędne albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** IV. Użycie i tworzenie strategii. Zdający stosuje strategię wynikającą z treści zadania. **Wymagania szczegółowe:** Zdający wyznacza równania prostych prostopadłych, współrzędne punktu przecięcia oraz punkty w zadanej odległości na prostej.