Równania i nierówności z parametrem
Zadanie 6, czerwiec 2014, poziom rozszerzony
Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których równanie
\[x^2+(2m-5)x+2m+3=0\]
ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste \(x_1,x_2\) takie, że
\[(x_1+x_2)^2\geq x_1^2x_2^2\geq x_1^2+x_2^2.\]
Odpowiedź
\[m\in\left\langle\frac5{18},\frac12\right).\]
Rozwiązanie krok po kroku
Warunek dwóch różnych pierwiastków rzeczywistych ma postać
\[\Delta=(2m-5)^2-4(2m+3)>0.\]
Po uproszczeniu
\[(2m-13)(2m-1)>0,\]
zatem
\[m<\frac12\quad\text{lub}\quad m>\frac{13}{2}.\]
Ze wzorów Viète'a
\[x_1+x_2=5-2m,\qquad x_1x_2=2m+3.\]
Pierwsza część podwójnej nierówności daje
\[(5-2m)^2\geq(2m+3)^2,\]
czyli \(m\leq\frac12\). Ponadto
\[x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=(5-2m)^2-2(2m+3).\]
Druga część nierówności jest więc równoważna
\[(2m+3)^2\geq(5-2m)^2-2(2m+3),\]
czyli \(36m\geq10\), a zatem \(m\geq\frac5{18}\). Część wspólna wszystkich warunków to
\[m\in\left\langle\frac5{18},\frac12\right).\]
Klucz i zasady oceniania
**6 pkt** – poprawne rozwiązanie wszystkich trzech warunków i ich część wspólna \(\left\langle\frac5{18},\frac12\right)\)
**5 pkt** – poprawne rozwiązanie warunków z podwójnej nierówności i warunku \(\Delta>0\), lecz usterka przy wyznaczaniu części wspólnej
**4 pkt** – poprawne użycie wzorów Viète'a, zapisanie \(x_1^2+x_2^2\) przez \(m\) i rozwiązanie obu nierówności
**3 pkt** – poprawne użycie wzorów Viète'a oraz rozwiązanie jednej z dwóch nierówności
**2 pkt** – poprawne podstawienie obu wzorów Viète'a i zapisanie \(x_1^2+x_2^2=(5-2m)^2-2(2m+3)\)
**1 pkt** – poprawne rozwiązanie ścisłego warunku \(\Delta>0\)
**0 pkt** – rozwiązanie błędne albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
IV. Użycie i tworzenie strategii. Zdający stosuje strategię wynikającą z treści zadania.
**Wymagania szczegółowe:**
Zdający bada liczbę pierwiastków równania kwadratowego, stosuje wzory Viète'a i rozwiązuje nierówności z parametrem.
