Liczby rzeczywiste
Zadanie 6.1, arkusz pokazowy 2023, poziom rozszerzony
Na obrzeżach miasta znajduje się jezioro, na którym postanowiono stworzyć tor regatowy. Na podstawie dostępnych map wymodelowano w pewnej skali kształt linii brzegowej jeziora w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) za pomocą fragmentów wykresów funkcji \(f\) oraz \(g\) (zobacz rysunek).
Funkcje \(f\) oraz \(g\) są określone wzorami
\[f(x)=x^2\qquad\text{oraz}\qquad g(x)=-\frac12\left(x-\frac12\right)^2+4.\]
Początek toru postanowiono zlokalizować na brzegu jeziora w miejscu, któremu odpowiada w układzie współrzędnych punkt \(P=(-1,1)\).
Niech \(R\) będzie punktem leżącym na wykresie funkcji \(g\).
**Wykaż, że odległość punktu \(R\) od punktu \(P\) wyraża się wzorem**
\[|PR|=\sqrt{\frac14x^4-\frac12x^3-\frac{13}{8}x^2+\frac{39}{8}x+\frac{593}{64}},\]
**gdzie \(x\) jest pierwszą współrzędną punktu \(R\).**
Odpowiedź
\[|PR|=\sqrt{\frac14x^4-\frac12x^3-\frac{13}{8}x^2+\frac{39}{8}x+\frac{593}{64}}.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Ponieważ punkt \(R\) leży na wykresie funkcji \(g\), ma współrzędne
\[R=\left(x,-\frac12\left(x-\frac12\right)^2+4\right).\]
Korzystamy ze wzoru na odległość punktów \(P=(-1,1)\) i \(R\):
\[|PR|=\sqrt{(x+1)^2+\left[-\frac12\left(x-\frac12\right)^2+3\right]^2}.\]
Po rozwinięciu kwadratów otrzymujemy
\[(x+1)^2=x^2+2x+1,\]
\[\left[-\frac12\left(x-\frac12\right)^2+3\right]^2=\frac14x^4-\frac12x^3-\frac{21}{8}x^2+\frac{23}{8}x+\frac{529}{64}.\]
Zatem
\[|PR|=\sqrt{\frac14x^4-\frac12x^3-\frac{13}{8}x^2+\frac{39}{8}x+\frac{593}{64}}.\]
Klucz i zasady oceniania
**2 pkt** – doprowadzenie wyrażenia określającego długość odcinka \(PR\) do wskazanej w zadaniu postaci
**1 pkt** – przyjęcie \(R=\left(x,-\frac12\left(x-\frac12\right)^2+4\right)\) i poprawne zastosowanie wzoru na odległość dwóch punktów
**0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
II. Wykorzystanie i tworzenie informacji; 1. Interpretowanie i operowanie informacjami przedstawionymi w tekście, na wykresach, diagramach i w tabelach. III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji; 1. Stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi; 3. Tworzenie pomocniczych obiektów matematycznych w celu przeprowadzenia argumentacji lub rozwiązania problemu.
**Wymagania szczegółowe:**
II.1) Zdający stosuje wzory skróconego mnożenia na \((a+b)^2\), \((a-b)^2\), \(a^2-b^2\).
IX.3) Zdający oblicza odległość dwóch punktów w układzie współrzędnych.
