Liczby rzeczywiste
Zadanie 5, arkusz pokazowy 2023, poziom rozszerzony
**Udowodnij, że suma sześcianów trzech kolejnych liczb całkowitych niepodzielnych przez \(4\) jest liczbą podzielną przez \(36\).**
Odpowiedź
Suma jest podzielna przez \(36\).
Rozwiązanie krok po kroku
Trzy kolejne liczby całkowite niepodzielne przez \(4\) można zapisać jako
\[a-1,\qquad a,\qquad a+1,\]
gdzie \(a\) jest liczbą parzystą niepodzielną przez \(4\). Ich suma sześcianów jest równa
\[(a-1)^3+a^3+(a+1)^3=3a(a^2+2).\]
Liczba \(a\) jest parzysta, a \(a^2+2\) także jest parzysta, więc iloczyn \(3a(a^2+2)\) jest podzielny przez \(4\).
Wykażemy podzielność przez \(9\). Każda liczba całkowita \(a\) ma jedną z postaci \(3k\), \(3k+1\), \(3k+2\).
Jeżeli \(a=3k\), to
\[3a(a^2+2)=9k(9k^2+2).\]
Jeżeli \(a=3k+1\), to
\[3a(a^2+2)=9(3k+1)(3k^2+2k+1).\]
Jeżeli \(a=3k+2\), to
\[3a(a^2+2)=9(3k+2)(3k^2+4k+2).\]
W każdym przypadku suma jest podzielna przez \(9\). Ponieważ \(4\) i \(9\) są względnie pierwsze, suma jest podzielna przez
\[4\cdot9=36.\]
Klucz i zasady oceniania
**3 pkt** – przeprowadzenie pełnego dowodu podzielności przez \(36\)
**2 pkt** – przekształcenie \((a-1)^3+a^3+(a+1)^3\) do postaci \(3a(a^2+2)\), gdzie \(a\) jest parzyste i niepodzielne przez \(4\), oraz wykazanie podzielności otrzymanej liczby przez \(4\) albo przez \(9\)
**1 pkt** – zapisanie sumy w postaci \((a-1)^3+a^3+(a+1)^3\), gdzie \(a\) jest liczbą parzystą niepodzielną przez \(4\), albo w równoważnej postaci z liczbami \(4k+1\), \(4k+2\), \(4k+3\)
**0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
IV. Rozumowanie i argumentacja; 1. Przeprowadzanie rozumowań, także kilkuetapowych, podawanie argumentów uzasadniających poprawność rozumowania, odróżnianie dowodu od przykładu.
**Wymagania szczegółowe:**
I.R2) Zdający przeprowadza proste dowody dotyczące podzielności liczb całkowitych i reszt z dzielenia.
