Potęgi i pierwiastki
Zadanie 6.2, arkusz pokazowy 2023, poziom rozszerzony
Na obrzeżach miasta znajduje się jezioro, na którym postanowiono stworzyć tor regatowy. Linię brzegową wymodelowano w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) za pomocą fragmentów wykresów funkcji
\[f(x)=x^2\qquad\text{oraz}\qquad g(x)=-\frac12\left(x-\frac12\right)^2+4.\]
Początek toru odpowiada punktowi \(P=(-1,1)\).
Koniec toru regatowego należy umieścić na linii brzegowej.
**Oblicz współrzędne punktu \(K\), w którym należy zlokalizować koniec toru, aby długość toru, tj. odległość końca \(K\) toru od początku \(P\), była możliwie największa. Oblicz długość najdłuższego toru. Zapisz obliczenia.**
*Wskazówka: przy rozwiązywaniu zadania możesz skorzystać z tego, że odległość dowolnego punktu \(R\) leżącego na wykresie funkcji \(g\) od punktu \(P\) wyraża się wzorem*
\[|PR|=\sqrt{\frac14x^4-\frac12x^3-\frac{13}{8}x^2+\frac{39}{8}x+\frac{593}{64}},\]
*gdzie \(x\) jest pierwszą współrzędną punktu \(R\).*
Odpowiedź
\[K=\left(\frac32,\frac72\right),\qquad |PK|=\frac{5\sqrt2}{2}.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Najpierw wyznaczamy punkty przecięcia wykresów \(f\) i \(g\):
\[x^2=-\frac12\left(x-\frac12\right)^2+4,\]
\[12x^2-4x-31=0.\]
Ich pierwsze współrzędne są równe
\[x_A=\frac{1-\sqrt{94}}6,\qquad x_B=\frac{1+\sqrt{94}}6.\]
Każdy punkt fragmentu wykresu \(f\) między punktami przecięcia jest nie dalej od \(P\) niż punkt \(B\), który należy również do wykresu \(g\). Wystarczy więc szukać końca toru na fragmencie wykresu \(g\).
Maksymalizujemy kwadrat odległości:
\[k(x)=\frac14x^4-\frac12x^3-\frac{13}{8}x^2+\frac{39}{8}x+\frac{593}{64}\]
dla
\[x\in\left[\frac{1-\sqrt{94}}6,\frac{1+\sqrt{94}}6\right].\]
Pochodna wynosi
\[k'(x)=x^3-\frac32x^2-\frac{13}{4}x+\frac{39}{8}.\]
Równanie \(k'(x)=0\) jest równoważne
\[(4x^2-13)(2x-3)=0.\]
Spośród liczb \(-\frac{\sqrt{13}}2\), \(\frac{\sqrt{13}}2\), \(\frac32\) tylko \(\frac32\) należy do dziedziny. Pochodna jest dodatnia przed \(\frac32\) i ujemna po \(\frac32\), zatem maksimum jest osiągane dla
\[x=\frac32.\]
Obliczamy drugą współrzędną:
\[g\left(\frac32\right)=-\frac12\left(\frac32-\frac12\right)^2+4=\frac72.\]
Stąd
\[K=\left(\frac32,\frac72\right).\]
Długość toru wynosi
\[|PK|=\sqrt{\left(\frac32+1\right)^2+\left(\frac72-1\right)^2}=\frac{5\sqrt2}{2}.\]
Klucz i zasady oceniania
**6 pkt** – uzasadnienie wyboru wykresu funkcji \(g\), pełna analiza maksimum oraz wyniki \(K=\left(\frac32,\frac72\right)\), \(|PK|=\frac{5\sqrt2}{2}\)
**5 pkt** – uzasadnienie wyboru wykresu \(g\) i maksimum dla \(x=\frac32\), albo pełne uzasadnienie maksimum oraz obliczenie współrzędnych punktu i długości
**4 pkt** – uzasadnienie wyboru wykresu \(g\) i wyznaczenie miejsca zerowego pochodnej \(x=\frac32\), albo uzasadnienie maksimum funkcji pomocniczej dla tego argumentu
**3 pkt** – uzasadnienie wyboru wykresu \(g\) i wyznaczenie pochodnej funkcji pomocniczej albo poprawne obliczenie jej miejsc zerowych
**2 pkt** – uzasadnienie wyboru wykresu \(g\) i określenie dziedziny optymalizacji albo wyznaczenie poprawnej pochodnej
**1 pkt** – uzasadnienie, że punkt \(K\) musi należeć do wykresu funkcji \(g\), albo poprawne określenie dziedziny
**0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji; 1. Stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi. IV. Rozumowanie i argumentacja; 4. Stosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach nietypowych.
**Wymagania szczegółowe:**
XIII.R3) Zdający oblicza pochodną funkcji potęgowej. XIII.R4) Zdający stosuje pochodną do badania monotoniczności funkcji. XIII.R5) Zdający rozwiązuje zadania optymalizacyjne z zastosowaniem pochodnej.
