Ciągi
Zadanie 19, maj 2019, poziom podstawowy
Na wykresie funkcji liniowej \(f\) leżą punkty \(A = (0, 4)\) i \(B = (2, 2)\). Obrazem prostej AB w symetrii względem początku układu współrzędnych jest wykres funkcji \(g\) określonej wzorem
A. \(g(x) = x + 4\)
B. \(g(x) = x - 4\)
C. \(g(x) = -x - 4\)
D. \(g(x) = -x + 4\)
Odpowiedź
C. \(g\)(x) = −x − \(4\)
Rozwiązanie krok po kroku
Z rysunku odczytujemy, że prosta \(AB\) przechodzi przez punkty \(A=(0,4)\) i \(B=(2,2)\), więc jej współczynnik kierunkowy jest równy
\[a=\frac{2-4}{2-0}=-1,\]
a wyraz wolny odczytujemy z punktu \(A\): \(f(x)=-x+4\).
Symetria względem początku układu współrzędnych przekształca punkt \((x,y)\) na \((-x,-y)\). Punkt \((x,y)\) leży na wykresie \(g\) dokładnie wtedy, gdy punkt \((-x,-y)\) leży na prostej \(AB\), czyli gdy
\[-y=-(-x)+4=x+4,\qquad y=-x-4.\]
Sprawdzenie: obrazem punktu \(A=(0,4)\) jest \((0,-4)\), a \(g(0)=-4\).
**Odpowiedź.** **C.** \(g(x)=-x-4\)
Klucz i zasady oceniania
*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.*
Wersja: \(\mathrm{C}\)
Wymagania podstawy programowej
Zadanie 19. (0−1)
8. Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej.
Wersja Wersja
Zdający znajduje obrazy niektórych figur
I II
II. Wykorzystanie geometrycznych (punktu, prostej, odcinka,
i interpretowanie okręgu, trójkąta itp.) w symetrii osiowej
reprezentacji. względem osi układu współrzędnych
C A
i symetrii środkowej względem początku
układu (8.7).
