Równania i nierówności
Zadanie 7, maj 2003, poziom podstawowy
Rysunek przedstawia fragment wykresu funkcji liniowej \(f\). Wykres funkcji \(g\) jest obrazem wykresu funkcji \(f\) otrzymanym za pomocą przesunięcia o wektor \(\vec{u}=[2,1]\). Wyznacz miejsce zerowe funkcji \(g\).
Odpowiedź
Miejscem zerowym funkcji \(g\) jest liczba \(-\tfrac52\).
Rozwiązanie krok po kroku
Z rysunku odczytujemy dwa punkty wykresu funkcji \(f\): \((-2,0)\) oraz \((3,2)\).
Stąd współczynnik kierunkowy
\[a=\frac{2-0}{3-(-2)}=\frac25,\]
a ponieważ \(f(-2)=0\), mamy \(f(x)=\tfrac25(x+2)=\tfrac25x+\tfrac45\).
Przesunięcie o wektor \(\vec{u}=[2,1]\) przeprowadza wykres funkcji \(f\) na wykres
funkcji
\[g(x)=f(x-2)+1.\]
Miejsce zerowe funkcji \(g\) spełnia \(g(x)=0\), czyli \(f(x-2)=-1\):
\[\tfrac25(x-2)+\tfrac45=-1\quad\big/\cdot5,\qquad 2(x-2)+4=-5,\qquad 2x=-5.\]
Stąd \(x=-\tfrac52\).
Sprawdzenie: \(g\left(-\tfrac52\right)=f\left(-\tfrac92\right)+1
=\tfrac25\cdot\left(-\tfrac52\right)+1=-1+1=0\).
**Odpowiedź.** Miejscem zerowym funkcji \(g\) jest \(-\tfrac52\).
Klucz i zasady oceniania
**1. (2 pkt)** – wyznaczenie wzoru funkcji \(f\): \(f(x)=\frac{2}{5}x+\frac{4}{5}\) lub wyznaczenie współrzędnych obrazów punktów \((-2,0)\) i \((3,2)\) w przesunięciu o wektor \(\vec{u}\). Odp. \((0,1)\), \((5,3)\). Po \(1\) punkcie za wyznaczenie współrzędnych każdego z obrazów.
**2. (2 pkt)** – zapisanie układu równań \(\begin{cases}x=x^{\prime}-2\\ y=y^{\prime}-1\end{cases}\) i wyznaczenie wzoru funkcji \(g\) lub wyznaczenie wzoru funkcji \(g\), której wykres przechodzi przez punkty \((0,1)\) i \((5,3)\). Odp. \(g(x)=\frac{2}{5}x+1\). Za zapisanie odpowiedniego układu równań przyznajemy \(1\) punkt.
**3. (1 pkt)** – wyznaczenie miejsca zerowego funkcji \(g\). Odp. \(x=-2{,}5\)
Wymagania podstawy programowej
Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.
