Ciągi
Zadanie 6, maj 2003, poziom podstawowy
Ciąg \((a_n)\) określony jest wzorem
\[\begin{cases}a_1=1,\\a_2=2,\\a_{n+2}=2^{n-1}+a_n+a_{n+1}&\text{dla }n\in\mathbb{N}\setminus\{0\}.\end{cases}\]
Wyznacz czwarty wyraz tego ciągu.
Odpowiedź
\(a_4=8\)
Rozwiązanie krok po kroku
Wzór rekurencyjny \(a_{n+2}=2^{n-1}+a_n+a_{n+1}\) pozwala wyznaczyć kolejne wyrazy, gdy znamy dwa poprzednie. Zaczynamy od \(a_1=1\) i \(a_2=2\).
Dla \(n=1\):
\[a_3=2^{0}+a_1+a_2=1+1+2=4.\]
Dla \(n=2\):
\[a_4=2^{1}+a_2+a_3=2+2+4=8.\]
**Odpowiedź.** \(a_4=8\)
Klucz i zasady oceniania
**1. (2 pkt)** – wyznaczenie wyrazu \(a_{3}\). Odp. \(a_{3}=4\). Za zapisanie zależności \(a_{3}=20+a_{1}+a_{2}\) przyznajemy \(1\) punkt.
**2. (1 pkt)** – wyznaczenie wyrazu \(a_{4}\). Odp. \(a_{4}=8\)
Wymagania podstawy programowej
Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.
