Zadanie 10 – matura z matematyki zestaw zadań marzec 2008 nr 1, poziom podstawowy

Tak, punkty \(K\) i \(L\) leżą po tej samej stronie prostej \(AB\), o równaniu \(y=\frac12x+2\) — oba leżą nad nią, bo \(21>\frac12\cdot36+2=20\) oraz \(-15>\frac12\cdot(-37)+2=-16{,}5\).

**Krok \(1\).** Pytanie „czy dwa punkty leżą po tej samej stronie prostej” rozstrzygamy tak: wyznaczamy równanie prostej w postaci kierunkowej \(y=ax+b\), a następnie dla każdego z punktów porównujemy jego rzędną z wartością \(ax+b\) obliczoną dla jego odciętej. Punkt leży nad prostą, gdy jego rzędna jest większa od tej wartości, a pod prostą, gdy jest mniejsza. Jeśli dla obu punktów wyjdzie ta sama nierówność, to leżą po tej samej stronie. **Krok \(2\).** Wyznaczamy współczynnik kierunkowy prostej \(AB\), gdzie \(A=(2,3)\) i \(B=(-2,1)\): \[a=\frac{3-1}{2-(-2)}=\frac{2}{4}=\frac12.\] **Krok \(3\).** Wyznaczamy wyraz wolny, podstawiając współrzędne punktu \(A\): \[3=\frac12\cdot2+b=1+b\qquad\Longrightarrow\qquad b=2.\] Zatem prosta \(AB\) ma równanie \(y=\frac12x+2\). Kontrola: dla \(x=-2\) otrzymujemy \(-1+2=1\), czyli punkt \(B\) — zgadza się; zgadza się też odczyt z rysunku, że prosta przecina oś \(Oy\) w punkcie \((0,2)\). **Krok \(4\).** Badamy punkt \(K=(36,21)\). Dla \(x=36\) prosta ma rzędną \[\frac12\cdot36+2=18+2=20.\] Ponieważ \(21\gt20\), punkt \(K\) leży nad prostą \(AB\). **Krok \(5\).** Badamy punkt \(L=(-37,-15)\). Dla \(x=-37\) prosta ma rzędną \[\frac12\cdot(-37)+2=-18{,}5+2=-16{,}5.\] Ponieważ \(-15\gt-16{,}5\), punkt \(L\) również leży nad prostą \(AB\). **Krok \(6\).** W obu przypadkach wyszła ta sama nierówność (rzędna punktu jest większa od rzędnej prostej), więc oba punkty leżą nad prostą \(AB\), czyli po tej samej jej stronie. **Uwaga.** Uważaj na porównywanie liczb ujemnych w kroku \(5\): liczba \(-15\) jest większa od \(-16{,}5\), choć na pierwszy rzut oka bywa to mylące. Nie wystarczy też sprawdzić, że punkty nie leżą na prostej (czyli że \(21\ne20\) i \(-15\ne-16{,}5\)) — trzeba porównać, w którą stronę, bo o stronie prostej decyduje właśnie kierunek nierówności. **Odpowiedź.** Tak, punkty \(K\) i \(L\) leżą po tej samej stronie prostej \(AB\), o równaniu \(y=\frac12x+2\) — oba leżą nad nią, bo \(21\gt\frac12\cdot36+2=20\) oraz \(-15\gt\frac12\cdot(-37)+2=-16{,}5\).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **10.1. (1 pkt)** – wyznaczenie równania prostej \(AB\): \(y=\frac{1}{2}x+2\) lub \(x-2y+4=0\). **10.2. (1 pkt)** – zbadanie położenia punktu \(K\) względem prostej \(AB\): \(\frac{1}{2}\cdot 36+2=20<21\). **10.3. (1 pkt)** – zbadanie położenia punktu \(L\) względem prostej \(AB\): \(\frac{1}{2}\cdot(-37)+2=-16\tfrac{1}{2}<-15\). Jeśli zdający jedynie sprawdza, czy punkty \(K\) i \(L\) należą do prostej \(AB\), to: w czynności 10.2 otrzymuje \(1\) pkt, a w czynności 10.3 nie otrzymuje punktu. Np.: \(\frac{1}{2}\cdot 36+2=20\neq 21\), \(\frac{1}{2}\cdot(-37)+2=-16\tfrac{1}{2}\neq -15\). **10.4. (1 pkt)** – podanie wniosku: Punkty \(K\) i \(L\) leżą po tej samej stronie prostej \(AB\). Nie przyznajemy punktu za wniosek (nawet poprawny), jeśli nie jest uzasadniony, np. brak czynności 10.2, 10.3 lub podobnego rozumowania. Przyznajemy punkt za wniosek konsekwentny do otrzymanych rezultatów.

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.