Trygonometria
Zadanie 11, zestaw zadań marzec 2008 nr 1, poziom podstawowy
Spawacz ma wykonać z blachy konstrukcję, której podstawą jest kwadrat, a ściany boczne są prostopadłe do płaszczyzny podstawy. Wymiary elementów są podane na rysunku. Oblicz pole powierzchni tej konstrukcji (wszystkich sześciu ścian). Wynik podaj z zaokrągleniem do \(1\,\mathrm{cm}^2\).
Na rysunku podstawa ma wymiary \(20\,\mathrm{cm}\times20\,\mathrm{cm}\), a przeciwległe krawędzie pionowe mają długości \(30\,\mathrm{cm}\) i \(40\,\mathrm{cm}\).
Odpowiedź
Pole powierzchni konstrukcji jest równe \(3200+200\sqrt5\approx3647\ \mathrm{cm}^2\).
Rozwiązanie krok po kroku
Z rysunku odczytujemy: podstawą jest kwadrat o boku \(20\ \mathrm{cm}\), dwie przeciwległe krawędzie pionowe mają \(30\ \mathrm{cm}\), a dwie pozostałe \(40\ \mathrm{cm}\).
Podstawa:
\[P_1=20\cdot20=400\ \mathrm{cm}^2.\]
Dwie ściany boczne, w których wysokość zmienia się od \(30\) do \(40\ \mathrm{cm}\), są trapezami o wysokości \(20\ \mathrm{cm}\):
\[P_2=2\cdot\frac{30+40}{2}\cdot20=1400\ \mathrm{cm}^2.\]
Dwie pozostałe ściany boczne są prostokątami:
\[P_3=20\cdot30+20\cdot40=600+800=1400\ \mathrm{cm}^2.\]
Górna ściana jest prostokątem o jednym boku \(20\ \mathrm{cm}\); jej drugi bok to krawędź skośna, której długość wyznaczamy z twierdzenia Pitagorasa dla przyrostu wysokości \(40-30=10\ \mathrm{cm}\) i szerokości \(20\ \mathrm{cm}\):
\[\ell=\sqrt{20^{2}+10^{2}}=\sqrt{500}=10\sqrt5\approx22{,}36\ \mathrm{cm},\qquad P_4=20\cdot10\sqrt5=200\sqrt5\ \mathrm{cm}^2.\]
Razem
\[P=400+1400+1400+200\sqrt5=3200+200\sqrt5\approx3647{,}2\ \mathrm{cm}^2.\]
**Odpowiedź.** Pole powierzchni konstrukcji jest równe około \(3647\ \mathrm{cm}^2\).
Klucz i zasady oceniania
*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.*
**11.1. (1 pkt)** – obliczenie długości skośnej krawędzi konstrukcji: \(10\sqrt{5}\,\mathrm{cm}\). Np. \(22{,}36\) cm albo \(22{,}4\) cm.
**11.2. (1 pkt)** – obliczenie sumy pól powierzchni ścian, które są trapezami: \(2\cdot\frac{(40+30)\cdot 20}{2}=1400\,\mathrm{cm}^{2}\).
**11.3. (1 pkt)** – obliczenie sumy pól powierzchni ścian będących prostokątami: \(20\cdot 20+20\cdot 40+20\cdot 30+20\cdot 10\sqrt{5}=1800+200\sqrt{5}\,\mathrm{cm}^{2}\). Akceptujemy wynik: \(2247\,\mathrm{cm}^{2}\) lub \(2248\,\mathrm{cm}^{2}\), o ile w czynności 11.1 zdający przyjął zaokrąglenie \(10\sqrt{5}\approx 22{,}4\).
**11.4. (1 pkt)** – podanie wyniku z żądanym zaokrągleniem: \(P=200\left(16+\sqrt{5}\right)\approx 3647\,\mathrm{cm}^{2}\). Akceptujemy wynik \(3648\). Zdający może pominąć jednostki.
Wymagania podstawy programowej
Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.
