Geometria analityczna
Zadanie 13.1, czerwiec 2026, poziom rozszerzony
W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) rozważamy wszystkie trójkąty prostokątne \(ABC\), w których \(C=(0,0)\), wierzchołek \(B\) leży na dodatniej półosi \(Oy\), wierzchołek \(A\) leży na dodatniej półosi \(Ox\), natomiast bok \(AB\) jest zawarty w prostej przechodzącej przez punkt \(K=(1,2)\).
Wykaż, że pole \(P\) trójkąta \(ABC\) w zależności od współczynnika kierunkowego \(a\) prostej \(AB\) jest określone wzorem
\[P(a)=\frac{-a^{2}+4a-4}{2a}.\]
Odpowiedź
\[P(a)=\frac{-a^{2}+4a-4}{2a}.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Prosta \(AB\) przechodzi przez punkt \(K=(1,2)\) i ma współczynnik kierunkowy \(a\), więc
\[AB:\ y=a(x-1)+2=ax+(2-a).\]
Wierzchołek \(B\) leży na dodatniej półosi \(Oy\), więc \(B=(0,2-a)\) i \(2-a>0\), czyli \(a<2\).
Wierzchołek \(A\) leży na dodatniej półosi \(Ox\); z \(0=ax+2-a\) otrzymujemy
\[A=\left(\frac{a-2}a,0\right),\qquad \frac{a-2}a>0.\]
Warunki \(a<2\) i \(\frac{a-2}a>0\) są spełnione jednocześnie tylko dla \(a<0\).
Kąt prosty jest przy wierzchołku \(C=(0,0)\), a przyprostokątne leżą na osiach układu, więc
\[P=\frac12\cdot|CA|\cdot|CB|=\frac12\cdot\frac{a-2}a\cdot(2-a)=\frac{-(2-a)^{2}}{2a}=\frac{-a^{2}+4a-4}{2a}.\]
**Odpowiedź.** \(P(a)=\frac{-a^{2}+4a-4}{2a}\) dla \(a<0\)
Klucz i zasady oceniania
**0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
**1 pkt** – wyznaczenie pierwszej współrzędnej \(x_A\) punktu \(A\) oraz drugiej współrzędnej \(y_B\) punktu \(B\) w zależności od współczynnika kierunkowego \(a\) prostej \(AB\): \(x_A=\frac{a-2}{a}\) oraz \(y_B=2-a\).
**2 pkt** – poprawne przekształcenia i przeprowadzenie pełnego rozumowania.
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
IV. Rozumowanie i argumentacja - przeprowadzanie rozumowań, także kilkuetapowych, podawanie argumentów uzasadniających poprawność rozumowania, odróżnianie dowodu od przykładu.
**Wymagania szczegółowe:**
IX.1) Zdający […] znajduje punkt wspólny dwóch prostych […];
IX.2) Zdający posługuje się równaniami prostych na płaszczyźnie […].
