Trójkąty
Zadanie 9, zestaw zadań marzec 2008 nr 1, poziom podstawowy
Narożnik między dwiema ścianami i sufitem prostopadłościennego pokoju należy zamaskować trójkątnym fragmentem płyty gipsowo-kartonowej (patrz rysunek). Wiedząc, że \(|RA|=|RB|=|RC|=1\,\mathrm{m}\), oblicz objętość narożnika zamaskowanego tą płytą. Wynik zaokrąglij do \(0{,}01\,\mathrm{m}^3\).
Odpowiedź
Objętość narożnika jest równa \(\frac16\ \mathrm{m}^3\approx0{,}17\ \mathrm{m}^3\).
Rozwiązanie krok po kroku
Punkt \(R\) jest narożnikiem pokoju, w którym schodzą się dwie ściany i sufit, więc krawędzie \(RA\), \(RB\), \(RC\) są parami prostopadłe.
Odcięta bryła jest ostrosłupem \(RABC\). Za podstawę przyjmijmy trójkąt prostokątny \(RAB\) o przyprostokątnych \(\lvert RA\rvert=\lvert RB\rvert=1\ \mathrm{m}\):
\[P_{RAB}=\tfrac12\cdot1\cdot1=\tfrac12\ \mathrm{m}^2.\]
Krawędź \(RC\) jest prostopadła do obu krawędzi \(RA\) i \(RB\), a więc do płaszczyzny \(RAB\) — jest wysokością tego ostrosłupa i ma długość \(1\ \mathrm{m}\).
Zatem
\[V=\tfrac13\cdot\tfrac12\cdot1=\frac16\ \mathrm{m}^3\approx0{,}17\ \mathrm{m}^3.\]
**Odpowiedź.** \(V=\frac16\ \mathrm{m}^3\approx0{,}17\ \mathrm{m}^3\)
Klucz i zasady oceniania
*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.*
**9.1. (1 pkt)** – zapisanie założenie, że trójkąt \(ABR\) jest podstawą, a odcinek \(CR\) jest wysokością danego ostrosłupa \(ABRC\).
**9.2. (1 pkt)** – obliczenie pola podstawy: \(P_{p}=\frac{1}{2}\,\mathrm{m}^{2}\).
**9.3. (1 pkt)** – obliczenie objętości ostrosłupa: \(V=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}\cdot 1=\frac{1}{6}\,\mathrm{m}^{3}\). Zdający może pominąć jednostki. Jeśli zdający zapisze, że objętość ostrosłupa jest równa \(\frac{1}{6}\,\mathrm{m}^{3}\), bo jest to naroże sześcianu o krawędzi \(1\) m, to przyznajemy punkty w czynnościach 9.1, 9.2, 9.3.
**9.4. (1 pkt)** – podanie wyniku zaokrąglonego do \(0{,}01\,\mathrm{m}^{3}\): \(V=0{,}17\,\mathrm{m}^{3}\).
**II sposób rozwiązania:**
**9.1. (1 pkt)** – podstawą ostrosłupa \(ABCR\) jest trójkąt równoboczny \(ABC\), którego krawędź podstawy ma długość \(\sqrt{2}\). Obliczenie pola podstawy ostrosłupa: \(P_{p}=\frac{\sqrt{3}}{2}\,\mathrm{m}^{2}\).
**9.2. (1 pkt)** – obliczenie wysokości \(H\) ostrosłupa: \(H=\sqrt{1^{2}-\left(\frac{\sqrt{6}}{3}\right)^{2}}=\frac{\sqrt{3}}{3}\,\mathrm{m}\).
**9.3. (1 pkt)** – obliczenie objętości ostrosłupa: \(V=\frac{1}{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{1}{6}\,\mathrm{m}^{3}\).
**9.4. (1 pkt)** – podanie wyniku zaokrąglonego do \(0{,}01\,\mathrm{m}^{3}\): \(V=0{,}17\,\mathrm{m}^{3}\).
Wymagania podstawy programowej
Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.
