Równania i nierówności
Zadanie 54, zbiór zadań z informatora 2025, poziom podstawowy
Na płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\), punkty \(A=(-1,-5)\), \(B=(2,-7)\), \(C=(6,9)\) i \(D=(-2,9)\) są wierzchołkami czworokąta \(ABCD\).
Oblicz współrzędne punktu przecięcia przekątnych czworokąta \(ABCD\).
Odpowiedź
\[P=\left(\frac23,-\frac53\right).\]
Rozwiązanie krok po kroku
Przekątna \(AC\) leży na prostej \(y=2x-3\), a przekątna \(BD\) na prostej \(y=-4x+1\). Punkt przecięcia spełnia więc
\[2x-3=-4x+1,\]
skąd \(6x=4\), czyli \(x=\frac23\). Wtedy
\[y=2\cdot\frac23-3=-\frac53.\]
Klucz i zasady oceniania
**3 pkt** – poprawna metoda i punkt \(P=(\frac23,-\frac53)\)
**2 pkt** – wyznaczenie obu równań: \(AC:y=2x-3\), \(BD:y=-4x+1\)
**1 pkt** – wyznaczenie jednego z tych równań
**0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
IV. Rozumowanie i argumentacja - stosowanie strategii rozwiązywania zadań.
**Wymagania szczegółowe:**
IX.1) Zdający znajduje wspólny punkt dwóch prostych.
IX.2) Wyznacza równania prostych przechodzących przez dwa dane punkty.
