Równania i nierówności z parametrem
Zadanie 22, zbiór zadań z informatora 2023, poziom rozszerzony
Proste o równaniach
\[2x+y-4m-4=0\qquad\text{oraz}\qquad x-3y+5m+5=0\]
przecinają się w punkcie \(P=(x_P,y_P)\).
**Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których współrzędne punktu \(P\) spełniają warunki**
\[x_P>0,\qquad y_P>0,\qquad y_P\ge x_P^2,\qquad y_P<-\frac{2}{x_P}+8.\]
Odpowiedź
\[m\in(1-\sqrt3,1].\]
Rozwiązanie krok po kroku
Rozwiązanie układu równań prostych daje
\[x_P=m+1,\qquad y_P=2(m+1).\]
Warunki \(x_P>0\) i \(y_P>0\) są równoważne \(m>-1\). Następnie
\[y_P\ge x_P^2\iff2(m+1)\ge(m+1)^2\iff m\in[-1,1].\]
Dla \(m>-1\) ostatni warunek ma postać
\[2(m+1)<-\frac2{m+1}+8.\]
Po przeniesieniu składników i pomnożeniu przez dodatnie \(m+1\) otrzymujemy
\[2m^2-4m-4<0,\]
czyli
\[m\in(1-\sqrt3,1+\sqrt3).\]
Część wspólna wszystkich otrzymanych zbiorów to \(m\in(1-\sqrt3,1]\).
Klucz i zasady oceniania
**5 pkt** – uwzględnienie wszystkich warunków i poprawny wynik
**4 pkt** – rozwiązanie obu nierówności po podstawieniu \(x_P=m+1\) i \(y_P=2(m+1)\)
**3 pkt** – rozwiązanie jednej z nierówności \(2(m+1)\ge(m+1)^2\) lub \(2(m+1)<-\frac2{m+1}+8\)
**2 pkt** – wyznaczenie wartości \(m\), dla których punkt \(P\) leży w pierwszej ćwiartce
**1 pkt** – wyznaczenie współrzędnych punktu \(P\) w zależności od \(m\)
**0 pkt** – rozwiązanie niepoprawne albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
IV.4 stosowanie i tworzenie strategii również w sytuacjach nietypowych.
**Wymagania szczegółowe:**
IV.1 rozwiązywanie układów równań liniowych z dwiema niewiadomymi i ich interpretacja geometryczna.
