Funkcje
Zadanie 21, zbiór zadań z informatora 2023, poziom rozszerzony
W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym \(ABCDE\) punkt \(O\) jest środkiem symetrii podstawy ostrosłupa. Stosunek obwodu podstawy \(ABCD\) do sumy długości wszystkich krawędzi ostrosłupa jest równy \(1:5\). Przez przekątną \(AC\) podstawy i środek \(S\) krawędzi bocznej \(BE\) poprowadzono płaszczyznę.
**Oblicz stosunek pola otrzymanego przekroju do pola podstawy ostrosłupa oraz miarę kąta \(BSO\) w zaokrągleniu do \(1^\circ\).**
Odpowiedź
\(\frac{P_{ACS}}{P_{ABCD}}=\sqrt2\), a \(\angle BSO\approx20^\circ\).
Rozwiązanie krok po kroku
Niech \(a\) oznacza długość krawędzi podstawy, a \(b\) długość krawędzi bocznej. Z warunku
\[\frac{4a}{4a+4b}=\frac15\]
otrzymujemy \(b=4a\). W trójkącie prostokątnym \(OBE\) punkt \(S\) jest środkiem przeciwprostokątnej \(BE\), więc
\[|OS|=|BS|=\frac{|BE|}{2}=2a.\]
Przekrój jest trójkątem \(ACS\), przy czym \(AC\perp OS\) i \(|AC|=a\sqrt2\). Zatem
\[\frac{P_{ACS}}{P_{ABCD}}=\frac{\frac12a\sqrt2\cdot2a}{a^2}=\sqrt2.\]
W trójkącie \(BSO\) mamy \(|BO|=\frac{a\sqrt2}{2}\) oraz \(|BS|=|OS|=2a\). Z twierdzenia cosinusów
\[\left(\frac{a\sqrt2}{2}\right)^2=(2a)^2+(2a)^2-2\cdot2a\cdot2a\cos\angle BSO,\]
więc \(\cos\angle BSO=\frac{15}{16}\), a stąd \(\angle BSO\approx20^\circ\).
Klucz i zasady oceniania
**5 pkt** – wyznaczenie miary kąta \(BSO\) i stosunku pól \(\sqrt2\)
**4 pkt** – obliczenie \(\cos\angle BSO=\frac{15}{16}\) i stosunku pól albo samej miary kąta
**3 pkt** – obliczenie stosunku pól albo cosinusa kąta
**2 pkt** – wyznaczenie \(|OS|=2a\)
**1 pkt** – wyznaczenie krawędzi bocznej \(b=4a\)
**0 pkt** – rozwiązanie niepoprawne albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
II.1 i IV.4 interpretowanie informacji przedstawionych na diagramie oraz stosowanie strategii w zadaniach nietypowych.
**Wymagania szczegółowe:**
X.2R wyznaczanie przekrojów ostrosłupów prawidłowych i obliczanie ich pól, także z wykorzystaniem trygonometrii.
