Równania i nierówności
Zadanie 23, zbiór zadań z informatora 2023, poziom rozszerzony
Trapez \(ABCD\) jest wpisany w okrąg o równaniu
\[x^2+y^2-38x+22y-96=0.\]
Wierzchołek \(A\) trapezu ma obie współrzędne ujemne, a odcinek \(AB\) jest dłuższą podstawą tego trapezu. Przekątna \(AC\) trapezu jest zawarta w prostej o równaniu \(y=x\).
**Oblicz \(\sin\angle ABC\).**
Odpowiedź
\(\sin\angle ABC=\frac8{17}\)
Rozwiązanie krok po kroku
Sprowadzamy równanie okręgu do postaci kanonicznej:
\[(x-19)^2+(y+11)^2=578=(17\sqrt2)^2,\]
zatem promień ma długość \(R=17\sqrt2\). Punkty \(A\) i \(C\) są punktami przecięcia okręgu z prostą \(y=x\). Po podstawieniu otrzymujemy
\[2x^2-16x-96=0,\]
więc \(x=-4\) lub \(x=12\). Ponieważ \(A\) ma obie współrzędne ujemne,
\[A=(-4,-4),\qquad C=(12,12).\]
Stąd
\[|AC|=\sqrt{16^2+16^2}=16\sqrt2.\]
Z twierdzenia sinusów w trójkącie \(ABC\):
\[\frac{|AC|}{\sin\angle ABC}=2R,\]
a zatem
\[\sin\angle ABC=\frac{16\sqrt2}{34\sqrt2}=\frac8{17}.\]
Klucz i zasady oceniania
**4 pkt** – zastosowanie twierdzenia sinusów i wynik \(\frac8{17}\)
**3 pkt** – obliczenie \(R=17\sqrt2\) i \(|AC|=16\sqrt2\)
**2 pkt** – obliczenie promienia oraz punktów \(A=(-4,-4)\), \(C=(12,12)\) albo punktów i długości \(AC\)
**1 pkt** – obliczenie promienia albo współrzędnych \(A\) i \(C\)
**0 pkt** – rozwiązanie niepoprawne albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
IV.4 stosowanie i tworzenie strategii w zadaniach nietypowych.
**Wymagania szczegółowe:**
IX.1R i VII.5 stosowanie równania okręgu w postaci ogólnej oraz twierdzenia sinusów.
