Prosta w układzie współrzędnych
Zadanie 21, sierpień 2024, poziom podstawowy
W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) przekątne równoległoboku \(ABCD\) przecinają się w punkcie
\[S=(9,11).\]
Bok \(AB\) tego równoległoboku zawiera się w prostej o równaniu
\[y=\frac12x-1,\]
a bok \(AD\) zawiera się w prostej o równaniu
\[y=2x-4.\]
**Oblicz współrzędne wierzchołka \(B\). Zapisz obliczenia.**
Odpowiedź
\[B=(6,2).\]
Rozwiązanie krok po kroku
Punkt \(A\) jest punktem wspólnym prostych zawierających boki \(AB\) i \(AD\). Rozwiązujemy układ
\[\begin{cases}y=\frac12x-1,\\y=2x-4.\end{cases}\]
Z równania \(2x-4=\frac12x-1\) otrzymujemy \(x=2\), a następnie \(y=0\). Zatem
\[A=(2,0).\]
Punkt \(S=(9,11)\) jest środkiem przekątnej \(AC\), więc
\[\frac{2+x_C}{2}=9,\qquad \frac{0+y_C}{2}=11.\]
Stąd
\[C=(16,22).\]
Prosta \(BC\) jest równoległa do \(AD\), więc ma współczynnik kierunkowy \(2\). Przechodzi przez \(C=(16,22)\), zatem
\[y=2(x-16)+22=2x-10.\]
Punkt \(B\) jest punktem wspólnym prostych \(AB\) i \(BC\):
\[\begin{cases}y=\frac12x-1,\\y=2x-10.\end{cases}\]
Stąd \(2x-10=\frac12x-1\), więc \(x=6\) i \(y=2\). Ostatecznie
\[B=(6,2).\]
Klucz i zasady oceniania
**4 pkt** – poprawna metoda obliczenia współrzędnych punktu \(B\) oraz wynik \(B=(6,2)\)
**3 pkt** – wyznaczenie równania prostej \(BC\): \(y=2x-10\); albo obliczenie \(D=(12,20)\); albo obliczenie \(A=(2,0)\) i środka \(M_{AB}=(4,1)\); albo obliczenie \(C=(16,22)\) i środka \(M_{BC}=(11,12)\); albo zapisanie układu równań pozwalającego obliczyć jedną ze współrzędnych punktu \(B\)
**2 pkt** – obliczenie \(C=(16,22)\); albo obliczenie \(M_{AB}=(4,1)\); albo obliczenie \(M_{BC}=(11,12)\); albo obliczenie \(A=(2,0)\) i wyznaczenie prostej \(SM_{AB}: y=2x-7\); albo obliczenie \(A=(2,0)\) i \(M_{AD}=(7,10)\); albo zapisanie zależności wynikających z tego, że \(S\) jest środkiem \(BD\), wraz z wyrażeniem współrzędnych \(B\) lub \(D\) przez jedną zmienną; albo wyrażenie współrzędnych obu punktów \(B\) i \(D\) przez po jednej zmiennej
**1 pkt** – obliczenie \(A=(2,0)\); albo wyznaczenie prostej \(SM_{AB}: y=2x-7\); albo obliczenie \(M_{AD}=(7,10)\); albo zapisanie zależności \(\frac{x_B+x_D}{2}=9\), \(\frac{y_B+y_D}{2}=11\); albo zapisanie \(B=(x_B,\frac12x_B-1)\); albo zapisanie \(D=(x_D,2x_D-4)\)
**0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
IV. Rozumowanie i argumentacja. 4. Stosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach nietypowych.
**Wymagania szczegółowe:**
IX.1) Zdający znajduje wspólny punkt dwóch prostych.
IX.2) Zdający posługuje się równaniem prostej na płaszczyźnie w postaci kierunkowej, w tym wyznacza równanie prostej o zadanych własnościach, takich jak równoległość do innej prostej.
