Trójkąty
Zadanie 20, sierpień 2024, poziom podstawowy
Podstawy trapezu prostokątnego \(ABCD\) mają długości
\[|AB|=12\qquad\text{oraz}\qquad |CD|=6.\]
Wysokość \(AD\) tego trapezu ma długość \(24\). Na odcinku \(AD\) leży punkt \(E\) taki, że
\[|\angle BEA|=|\angle CED|\]
(zobacz rysunek).
**Oblicz długość odcinka \(BE\). Zapisz obliczenia.**
Odpowiedź
\[|BE|=20.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Trójkąty \(ABE\) oraz \(DCE\) są podobne na podstawie cechy kąt-kąt-kąt: kąty przy \(A\) i \(D\) są proste, a \(|\angle BEA|=|\angle CED|\). Zatem
\[\frac{|AE|}{|AB|}=\frac{|DE|}{|CD|}.\]
Ponieważ \(|AD|=24\), mamy \(|DE|=24-|AE|\). Stąd
\[\frac{|AE|}{12}=\frac{24-|AE|}{6},\]
\[6|AE|=288-12|AE|,\qquad 18|AE|=288,\qquad |AE|=16.\]
W trójkącie prostokątnym \(ABE\), z twierdzenia Pitagorasa,
\[|BE|^2=|AB|^2+|AE|^2=12^2+16^2=400.\]
Zatem
\[|BE|=20.\]
Klucz i zasady oceniania
**2 pkt** – poprawna metoda i obliczenie długości odcinka \(BE\): \(|BE|=20\)
**1 pkt** – obliczenie \(|DE|=8\) albo obliczenie \(|AE|=16\)
**0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania
**Uwaga CKE:** zapisanie wyłącznie \(|BE|=20\), bez poprawnej metody, daje \(0\) punktów.
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
IV. Rozumowanie i argumentacja. 4. Stosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach nietypowych.
**Wymagania szczegółowe:**
VIII.8) Zdający korzysta z cech podobieństwa trójkątów.
