Prosta w układzie współrzędnych
Zadanie 31, sierpień 2019, poziom podstawowy
\(21\)
Przekątne rombu ABCD przecinają się w punkcie \(S =\) − , −\(1\) . Punkty A i C leżą na
\(2\)
\(1\) \(5\)
prostej o równaniu \(y = x +\) . Wyznacz równanie prostej BD.
\(3\) \(2\)
Odczyt redakcyjny — treść w arkuszu jest uszkodzona
Prawdopodobny zapis: \(S=\left(-\frac{21}{2},-1\right)\), a punkty \(A\) i \(C\) leżą na prostej o równaniu \(y=\frac13x+\frac52\).
Rozproszone tokeny 21, 2 oraz 1, 3, 5, 2 układają się w ułamki −21/2 i 1/3 oraz 5/2. Sprawdzenie: prosta prostopadła do y = x/3 + 5/2 przechodząca przez S ma równanie y = −3x − 65/2, zgodne z kluczem CKE.
Odpowiedź
\[BD:\ y=-3x-\frac{65}{2}.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Przekątne rombu są prostopadłe i przecinają się w swoim wspólnym środku \(S\).
Punkty \(A\) i \(C\) leżą na prostej o współczynniku kierunkowym \(\frac13\), więc prosta \(BD\) ma współczynnik
\[a=-\frac1{\frac13}=-3.\]
Prosta \(BD\) przechodzi przez \(S=\left(-\frac{21}2,-1\right)\):
\[-1=-3\cdot\left(-\frac{21}2\right)+b\quad\Longrightarrow\quad b=-1-\frac{63}2=-\frac{65}2.\]
**Odpowiedź.** \(y=-3x-\frac{65}2\)
Klucz i zasady oceniania
1 pkt: współczynnik kierunkowy −3. 2 pkt: pełne równanie.
Wymagania podstawy programowej
Zadanie 31.
Klucz CKE dla sesji poprawkowej 2019 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Geometria analityczna.
