Ciąg arytmetyczny
Zadanie 32, sierpień 2019, poziom podstawowy
( )
W ciągu arytmetycznym a , a , ..., a , a suma wyrazów tego ciągu o numerach
\(1\) \(2\) \(39\) \(40\)
parzystych jest równa \(1340\), a suma wyrazów ciągu o numerach nieparzystych jest
równa \(1400\). Wyznacz ostatni wyraz tego ciągu arytmetycznego.
Odpowiedź
\(a_{40}\)=\(10\)
Rozwiązanie krok po kroku
Wyrazów o numerach parzystych i o numerach nieparzystych jest po \(20\), a każdy wyraz o numerze parzystym jest o \(r\) większy od poprzedzającego go wyrazu o numerze nieparzystym. Odjęcie sum stronami daje więc
\[20r=1340-1400=-60,\qquad r=-3.\]
Suma wszystkich czterdziestu wyrazów jest równa \(1340+1400=2740\), a ze wzoru \(S_n=\frac{(a_1+a_n)\cdot n}{2}\)
\[2740=\frac{(a_1+a_{40})\cdot40}{2}=20(a_1+a_{40}),\qquad a_1+a_{40}=137.\]
Ponadto \(a_{40}=a_1+39r=a_1-117\), więc
\[2a_1-117=137,\qquad a_1=127,\qquad a_{40}=127-117=10.\]
**Odpowiedź.** \(a_{40}=10\)
Klucz i zasady oceniania
**1–3 pkt** – poprawne równania sum i wyznaczenie \(r=-3\), \(a_1=127\).
**4 pkt** – \(a_{40}=10\)
Wymagania podstawy programowej
Zadanie 32.
Klucz CKE dla sesji poprawkowej 2019 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Ciągi.
