Geometria analityczna
Zadanie 33, sierpień 2017, poziom podstawowy
Punkt \(C = ( 0, 0 )\) jest wierzchołkiem trójkąta prostokątnego ABC, którego wierzchołek A leży
na osi Ox, a wierzchołek B na osi Oy układu współrzędnych. Prosta zawierająca wysokość tego
trójkąta opuszczoną z wierzchołka C przecina przeciwprostokątną AB w punkcie \(D = ( 3, 4 )\) .
Oblicz współrzędne wierzchołków A i B tego trójkąta oraz długość przeciwprostokątnej AB.
Odpowiedź
\[A=\left(\frac{25}3,0\right),\qquad B=\left(0,\frac{25}4\right),\qquad|AB|=\frac{125}{12}.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Z rysunku odczytujemy, że \(C\) leży w początku układu, \(A\) na osi \(Ox\), \(B\) na osi \(Oy\), a punkt \(D=(3,4)\) leży na przeciwprostokątnej \(AB\).
Prosta \(CD\) zawiera wysokość opuszczoną z \(C\), więc jest prostopadła do \(AB\). Jej współczynnik kierunkowy to \(a_{CD}=\frac{4-0}{3-0}=\frac43\), zatem z warunku prostopadłości
\[a_{AB}=-\frac1{a_{CD}}=-\frac34.\]
Prosta \(AB\) przechodzi przez \(D=(3,4)\):
\[y-4=-\frac34(x-3),\qquad\text{czyli}\qquad y=-\frac34x+\frac{25}4.\]
Punkt \(A\) to jej przecięcie z osią \(Ox\): z \(0=-\frac34x+\frac{25}4\) otrzymujemy \(x=\frac{25}3\), więc \(A=\left(\frac{25}3,0\right)\). Punkt \(B\) to przecięcie z osią \(Oy\): \(B=\left(0,\frac{25}4\right)\).
Długość przeciwprostokątnej:
\[|AB|=\sqrt{\left(\frac{25}3\right)^{2}+\left(\frac{25}4\right)^{2}}=25\sqrt{\frac1{9}+\frac1{16}}=25\cdot\frac5{12}=\frac{125}{12}.\]
**Odpowiedź.** \(A=\left(\frac{25}3,0\right)\), \(B=\left(0,\frac{25}4\right)\), \(|AB|=\frac{125}{12}\)
Klucz i zasady oceniania
**1–3 pkt** – współczynnik prostej \(CD\), równanie \(AB\) i współrzędne \(A\) oraz \(B\).
**4 pkt** – długość \(AB=\tfrac{125}{12}\).
Wymagania podstawy programowej
Zadanie 33.
Klucz CKE dla sesji poprawkowej 2017 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Geometria analityczna.
