Graniastosłupy
Zadanie 34, sierpień 2017, poziom podstawowy
Podstawą graniastosłupa prostego ABCDEF jest trójkąt prostokątny ABC , w którym
\(ACB = 90^{\circ}\) (zobacz rysunek). Stosunek długości przyprostokątnej AC tego trójkąta do
długości przyprostokątnej BC jest równy \(4 : 3\). Punkt S jest środkiem okręgu opisanego na
trójkącie ABC, a długość odcinka SC jest równa \(5\). Pole ściany bocznej BEFC graniastosłupa
jest równe \(48\). Oblicz objętość tego graniastosłupa.
F
D E
C
•
A B
S
Odczyt redakcyjny — treść w arkuszu jest uszkodzona
Prawdopodobny zapis warunku o kącie prostym: \(\lvert\angle ACB\rvert=90^{\circ}\). Litery F, D, E, C, A, B, S na końcu treści to opisy wierzchołków z rysunku.
Symbol kąta oraz wartości bezwzględnej wypadły z zapisu; ciąg pojedynczych liter odpowiada etykietom wierzchołków widocznym na dołączonym wycinku CKE.
Odpowiedź
\[V=192.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Punkt \(S\) jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym \(ABC\), a taki środek leży w połowie przeciwprostokątnej. Odcinek \(SC\) jest zatem promieniem tego okręgu i
\[|AB|=2|SC|=10.\]
Z warunku \(|AC|:|BC|=4:3\) przyjmijmy \(|AC|=4k\), \(|BC|=3k\). Z twierdzenia Pitagorasa
\[(4k)^{2}+(3k)^{2}=10^{2}\quad\Longrightarrow\quad 25k^{2}=100\quad\Longrightarrow\quad k=2,\]
więc \(|AC|=8\) i \(|BC|=6\).
Ściana \(BEFC\) jest prostokątem o bokach \(|BC|\) i \(H\), więc z warunku \(P_{BEFC}=48\) otrzymujemy
\[6H=48\quad\Longrightarrow\quad H=8.\]
Pole podstawy i objętość:
\[P_p=\frac12\cdot8\cdot6=24,\qquad V=P_p\cdot H=24\cdot8=192.\]
**Odpowiedź.** \(V=192\)
Klucz i zasady oceniania
**1–4 pkt** – przeciwprostokątna \(10\), przyprostokątne \(8\) i \(6\) oraz wysokość graniastosłupa \(8\).
**5 pkt** – objętość \(192\).
Wymagania podstawy programowej
Zadanie 34.
Klucz CKE dla sesji poprawkowej 2017 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Geometria przestrzenna.
