Ciąg arytmetyczny
Zadanie 31, sierpień 2017, poziom podstawowy
( )
Dany jest ciąg arytmetyczny a , określony dla \(n \geq 1, w\) którym spełniona jest równość
n
\(a + a + a + a = 100\) . Oblicz sumę a + a .
\(21\) \(24\) \(27\) \(30\) \(25\) \(26\)
Odczyt redakcyjny — zapis matematyczny w arkuszu jest rozbity
Prawdopodobny zapis: „Dany jest ciąg arytmetyczny \((a_n)\), określony dla \(n \geq 1\), w którym spełniona jest równość \(a_{21}+a_{24}+a_{27}+a_{30}=100\). Oblicz sumę \(a_{25}+a_{26}\).”
w obu wzorach zostały gołe litery \(a\), a wszystkie indeksy zeszły do jednego wiersza „\(21\) \(24\) \(27\) \(30\) \(25\) \(26\)” — cztery pierwsze należą do równości, dwa ostatnie do polecenia „Oblicz sumę”; puste „( )” i samotne „n” to rozbity symbol \((a_n)\). Rachunek potwierdza odczyt: \(21+30=24+27=25+26=51\), więc \(a_{21}+a_{30}=a_{24}+a_{27}=a_{25}+a_{26}\) i z równości \(2(a_{25}+a_{26})=100\) wychodzi \(a_{25}+a_{26}=50\), zgodnie z kluczem i polem odpowiedzi.
Odpowiedź
\(a_{25}\) + \(a_{26}\) = \(50\)
Rozwiązanie krok po kroku
W ciągu arytmetycznym suma dwóch wyrazów zależy tylko od sumy ich numerów, bo \(a_i+a_j=2a_1+(i+j-2)r\). Numery w danym warunku łączymy w pary o jednakowej sumie:
\[21+30=24+27=51,\]
więc \(a_{21}+a_{30}=a_{24}+a_{27}\). Skoro suma czterech wyrazów wynosi \(100\), każda z tych par jest równa \(50\).
Numery \(25\) i \(26\) także sumują się do \(51\), zatem
\[a_{25}+a_{26}=50.\]
**Odpowiedź.** \(a_{25}+a_{26}=50\)
Klucz i zasady oceniania
1 pkt: poprawne przekształcenie warunku z użyciem różnicy ciągu. 2 pkt: wynik 50.
Wymagania podstawy programowej
Zadanie 31.
Klucz CKE dla sesji poprawkowej 2017 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Ciągi.
