Prosta w układzie współrzędnych
Zadanie 32, sierpień 2016, poziom podstawowy
Na rysunku przedstawione są dwa wierzchołki trójkąta prostokątnego \(ABC: A = ( -3, -3 )\)
i \(C = ( 2, 7 )\) oraz prosta o równaniu \(y = 3 x - 3\), zawierająca przeciwprostokątną AB tego
\(4\) \(4\)
trójkąta.
y
\(10\)
\(9\)
\(8\) C
\(7\)
\(6\)
\(5\)
\(4\)
\(3\)
\(2\)
\(1
-5 -4 -3 -2 -1\) \(0\) \(1\) \(2\) \(3\) \(4\) \(5\) \(6\) \(7\) \(8\) \(9\) \(10\) x
-\(1\)
A \(-2
-3
-4
-5\)
Oblicz współrzędne wierzchołka B tego trójkąta i długość odcinka AB.
Odczyt redakcyjny — treść w arkuszu jest uszkodzona
Prawdopodobny zapis prostej zawierającej przeciwprostokątną: \(y=\frac34x-\frac34\).
Odczyt potwierdzony bezpośrednio z oryginalnego wycinka CKE dołączonego do zadania; w zapisie zastanym zachowane liczniki 3 i 3 oraz mianowniki 4 i 4. Sprawdzenie: punkt A = (−3,−3) spełnia to równanie, a wynik B = (7, 9/2) zgadza się z kluczem CKE.
Odpowiedź
\[B=\left(7,\frac92\right),\qquad |AB|=\frac{25}2.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Z rysunku odczytujemy \(A=(-3,-3)\) oraz \(C=(2,7)\); punkt \(A\) leży na danej prostej \(y=\frac34x-\frac34\), zawierającej przeciwprostokątną \(AB\).
Kąt prosty jest przy wierzchołku \(C\), więc prosta \(BC\) jest prostopadła do \(AC\). Współczynnik kierunkowy prostej \(AC\) wynosi
\[a_{AC}=\frac{7-(-3)}{2-(-3)}=2,\]
więc \(a_{BC}=-\frac12\), a prosta \(BC\) przechodząca przez \(C=(2,7)\) ma równanie
\[y=-\frac12x+8.\]
Punkt \(B\) leży na obu prostych, więc
\[\frac34x-\frac34=-\frac12x+8\quad\Longleftrightarrow\quad\frac54x=\frac{35}4\quad\Longleftrightarrow\quad x=7,\]
skąd \(y=-\frac72+8=\frac92\) i \(B=\left(7,\frac92\right)\).
Długość przeciwprostokątnej:
\[|AB|=\sqrt{(7+3)^{2}+\left(\tfrac92+3\right)^{2}}=\sqrt{100+\frac{225}4}=\sqrt{\frac{625}4}=\frac{25}2.\]
**Odpowiedź.** \(B=\left(7,\frac92\right)\), \(|AB|=\frac{25}2\)
Klucz i zasady oceniania
**1–3 pkt** – współczynnik prostej \(AC\), prosta prostopadła i współrzędne \(B\).
**4 pkt** – \(B=\left(7,\tfrac{9}{2}\right)\) oraz \(AB=\tfrac{25}{2}\).
Wymagania podstawy programowej
Zadanie 32.
Klucz CKE dla sesji poprawkowej 2016 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Geometria analityczna.
