Ostrosłupy
Zadanie 33, sierpień 2016, poziom podstawowy
Trójkąt równoboczny ABC jest podstawą ostrosłupa prawidłowego ABCS, w którym ściana
boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem \(60^{\circ} , a\) krawędź boczna ma
długość \(7\) (zobacz rysunek). Oblicz objętość tego ostrosłupa.
S
\(7\)
C
A
B
Odpowiedź
\[V=21\sqrt7.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Oznaczmy przez \(a\) długość krawędzi podstawy. W trójkącie równobocznym promień okręgu wpisanego wynosi \(r=\frac{a\sqrt3}6\), a promień okręgu opisanego \(R=\frac{a\sqrt3}3\).
Kąt nachylenia ściany bocznej do podstawy leży w trójkącie prostokątnym o przyprostokątnych \(H\) i \(r\), więc
\[H=r\tan60^{\circ}=\frac{a\sqrt3}6\cdot\sqrt3=\frac a2.\]
Krawędź boczna \(b=7\) jest przeciwprostokątną trójkąta o przyprostokątnych \(H\) i \(R\):
\[H^{2}+R^{2}=b^{2}\quad\Longrightarrow\quad \frac{a^{2}}4+\frac{a^{2}}3=49\quad\Longrightarrow\quad \frac{7a^{2}}{12}=49\quad\Longrightarrow\quad a^{2}=84.\]
Stąd \(a=2\sqrt{21}\) oraz \(H=\frac a2=\sqrt{21}\), a pole podstawy
\[P_p=\frac{a^{2}\sqrt3}4=\frac{84\sqrt3}4=21\sqrt3.\]
Objętość:
\[V=\frac13\cdot21\sqrt3\cdot\sqrt{21}=7\sqrt{63}=21\sqrt7.\]
**Odpowiedź.** \(V=21\sqrt7\)
Klucz i zasady oceniania
**1–4 pkt** – poprawna interpretacja kąta, wysokość \(\sqrt{21}\) i krawędź podstawy \(2\sqrt{21}\).
**5 pkt** – objętość \(21\sqrt7\).
Wymagania podstawy programowej
Zadanie 33.
Klucz CKE dla sesji poprawkowej 2016 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Geometria przestrzenna.
