Równania i nierówności
Zadanie 2, próbna listopad 2006, poziom podstawowy
Dany jest kwadrat o boku długości \(a\). W prostokącie \(ABCD\) bok \(AB\) jest dwa razy dłuższy niż bok kwadratu, a bok \(AD\) jest o \(2\,\mathrm{cm}\) krótszy od boku kwadratu. Pole tego prostokąta jest o \(12\,\mathrm{cm}^2\) większe od pola kwadratu. Oblicz długość boku kwadratu.
Odpowiedź
Bok kwadratu ma długość \(a=6\ \mathrm{cm}\).
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** To zadanie tekstowe prowadzące do równania kwadratowego. Metoda jest zawsze ta sama: wszystkie występujące wielkości wyrażamy przez jedną niewiadomą — tutaj przez bok kwadratu \(a\) — zapisujemy pola obu figur, a zdanie „pole prostokąta jest o \(12\) większe od pola kwadratu” zamieniamy na równanie.
**Krok \(2\).** Bok kwadratu ma długość \(a\) (w centymetrach), więc pole kwadratu wynosi \(a^2\).
**Krok \(3\).** Zapisujemy boki prostokąta. Bok \(AB\) jest dwa razy dłuższy niż bok kwadratu, więc \(|AB|=2a\). Bok \(AD\) jest o \(2\) cm krótszy od boku kwadratu, więc \(|AD|=a-2\). Pole prostokąta to zatem \(2a(a-2)\).
**Krok \(4\).** Zapisujemy warunek z treści zadania:
\[2a(a-2)=a^2+12.\]
**Krok \(5\).** Przekształcamy do postaci ogólnej równania kwadratowego:
\[2a^2-4a=a^2+12,\qquad a^2-4a-12=0.\]
**Krok \(6\).** Liczymy wyróżnik: \(\Delta=16+48=64\), \(\sqrt{\Delta}=8\), więc
\[a_1=\frac{4-8}{2}=-2,\qquad a_2=\frac{4+8}{2}=6.\]
**Krok \(7\).** Odrzucamy \(a=-2\), bo długość boku musi być liczbą dodatnią. Zostaje \(a=6\).
**Krok \(8\).** Sprawdzenie: boki prostokąta mają wtedy długości \(12\) i \(4\), więc jego pole wynosi \(48\); pole kwadratu to \(6^2=36\), a rzeczywiście \(48-36=12\). Zgadza się.
**Uwaga.** Poza oczywistym warunkiem \(a\gt0\) kryje się tu drugi: bok \(|AD|=a-2\) też musi być dodatni, czyli \(a\gt2\). Wartość \(a=-2\) łamie oba te warunki i trzeba ją jawnie odrzucić — sam rachunek jej nie eliminuje.
**Odpowiedź.** Bok kwadratu ma długość \(a=6\ \mathrm{cm}\).
Klucz i zasady oceniania
2. 2.1 Zapisanie długości boków prostokąta: AB = 2a , AD = a − 2 . 1
liczby: a = −6, a = 2 . Zdający zapisze
1 2
odpowiedź: żadna z tych liczb nie spełnia
warunków zadania.
Punktujemy to rozwiązanie następująco: 0, 2, 1.
2 Próbny egzamin maturalny z matematyki
Poziom podstawowy
2 Jeśli równanie nie jest dobrze ułożone, ale jest
Zapisanie i rozwiązanie równania: 2a ⋅ ( a − 2 ) = a + 12
to równanie kwadratowe zupełne i zdający
a = 6 lub a = −2 .
rozwiąże je poprawnie, to punktujemy
1 pkt za napisanie równania,
2.2 2 następująco:
1 pkt za rozwiązanie równania.
czynność 2.2 – 1 punkt,
Uwaga!
czynność 2.3 – 0 punktów.
Zdający może napisać równanie w następujący sposób: a ( a − 4) = 12 .
2.3 Wybór i podanie odpowiedzi: a = 6 cm. 1
[Dalsza część schematu, doklejona przez ekstrakcję, należy do kolejnego zadania z arkusza i została usunięta.]
Wymagania podstawy programowej
Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.
