Zadanie 28 – matura z matematyki próbna grudzień 2022, poziom podstawowy

**B.** Proste \(k\) i \(l\) są prostopadłe.

**Krok \(1\).** Oba równania są podane w postaci kierunkowej \(y=ax+b\). O wzajemnym położeniu dwóch prostych decydują ich współczynniki kierunkowe, czyli liczby stojące przy \(x\) — od nich zaczynamy. **Krok \(2\).** Odczytujemy współczynniki kierunkowe: \[a_k=\frac13,\qquad a_l=-3.\] **Krok \(3\).** Sprawdzamy odpowiedzi A i D. Proste są równoległe (nie mają punktów wspólnych) albo pokrywają się tylko wtedy, gdy \(a_k=a_l\). Tu \(\frac13\neq-3\), więc proste przecinają się w dokładnie jednym punkcie — obie te odpowiedzi odpadają. **Krok \(4\).** Sprawdzamy prostopadłość. Dwie proste nierównoległe do osi są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy iloczyn ich współczynników kierunkowych jest równy \(-1\): \[a_k\cdot a_l=\frac13\cdot(-3)=-1.\] Warunek jest spełniony, więc proste są prostopadłe. **Krok \(5\).** Dla pewności sprawdzamy jeszcze odpowiedź C, wyznaczając rzeczywisty punkt przecięcia. Porównujemy prawe strony obu równań: \[\frac13x-1=-3x+6.\] **Krok \(6\).** Przenosimy niewiadome na lewo, liczby na prawo: \[\frac13x+3x=7,\qquad \frac{10}{3}x=7,\qquad x=\frac{21}{10}=2{,}1.\] **Krok \(7\).** Obliczamy \(y\), podstawiając do równania prostej \(l\): \[y=-3\cdot2{,}1+6=-6{,}3+6=-0{,}3.\] Punkt wspólny to \((2{,}1;\,-0{,}3)\), a nie \((0,-1)\), więc odpowiedź C jest błędna. **Uwaga.** Punkt \((0,-1)\) leży na prostej \(k\) (to jej wyraz wolny), ale nie leży na \(l\), bo \(-3\cdot0+6=6\neq-1\). Sam fakt, że punkt należy do jednej z prostych, nie czyni go punktem wspólnym. **Odpowiedź.** B: proste \(k\) i \(l\) są prostopadłe.

**1 pkt** – odpowiedź poprawna **0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi

**Wymagania ogólne:** III. wykorzystywanie i interpretowanie reprezentacji - stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi. **Wymagania szczegółowe:** IX.1 rozpoznawanie wzajemnego położenia prostych na płaszczyźnie na podstawie ich równań.