Zadanie 9 – matura z matematyki próbna czerwiec 2004, poziom podstawowy

a) \(|AB|=\sqrt{10}\). b) \(m:\ y=-3x+5\). c) \(k:\ y=\dfrac13x-\dfrac53\). d) Prosta \(k\) jest prostopadła do \(BC\) i przechodzi przez \(A\); gdyby należał do niej środek okręgu opisanego, byłaby symetralną boku \(BC\), a wtedy musiałoby zachodzić \(|AB|=|AC|\); tymczasem \(|AC|=\sqrt{20}\neq\sqrt{10}=|AB|\), więc środek okręgu opisanego nie należy do prostej \(k\).

**Krok \(1\).** Wszystkie podpunkty to standardowe narzędzia geometrii analitycznej: wzór na długość odcinka, równanie prostej przez dwa punkty, warunek prostopadłości \(a_1\cdot a_2=-1\) oraz — w ostatnim podpunkcie — własność środka okręgu opisanego, czyli to, że jest on jednakowo oddalony od wszystkich trzech wierzchołków. **Krok \(2\).** Podpunkt a). Ze wzoru na długość odcinka dla \(A=(-1,-2)\) i \(B=(2,-1)\): \[|AB|=\sqrt{\big(2-(-1)\big)^2+\big(-1-(-2)\big)^2}=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}.\] **Krok \(3\).** Podpunkt b). Współczynnik kierunkowy prostej przez \(B=(2,-1)\) i \(C=(1,2)\): \[a=\frac{2-(-1)}{1-2}=\frac{3}{-1}=-3.\] **Krok \(4\).** Wyraz wolny wyznaczamy, wstawiając współrzędne jednego z punktów, na przykład \(B\), do \(y=-3x+b\): \[-1=-3\cdot2+b,\qquad b=5.\] Zatem \(m:\ y=-3x+5\) (sprawdzenie dla \(C\): \(-3\cdot1+5=2\)). **Krok \(5\).** Podpunkt c). Prosta \(k\) jest prostopadła do \(m\), więc iloczyn współczynników kierunkowych wynosi \(-1\): \[a_k=-\frac{1}{-3}=\frac13.\] **Krok \(6\).** Prosta \(k\) przechodzi przez \(A=(-1,-2)\), więc \[-2=\frac13\cdot(-1)+b,\qquad b=-2+\frac13=-\frac53,\] czyli \(k:\ y=\frac13x-\frac53\). **Krok \(7\).** Podpunkt d). Środek okręgu opisanego \(S=(x,y)\) jest jednakowo oddalony od wierzchołków. Z warunku \(|SA|^2=|SB|^2\): \[(x+1)^2+(y+2)^2=(x-2)^2+(y+1)^2,\] \[2x+1+4y+4=-4x+4+2y+1,\qquad 6x+2y=0.\] **Krok \(8\).** Z warunku \(|SB|^2=|SC|^2\): \[(x-2)^2+(y+1)^2=(x-1)^2+(y-2)^2,\] \[-4x+4+2y+1=-2x+1-4y+4,\qquad -2x+6y=0.\] **Krok \(9\).** Rozwiązujemy układ \(6x+2y=0\) i \(-2x+6y=0\). Z pierwszego równania \(y=-3x\), po wstawieniu do drugiego \(-2x-18x=0\), czyli \(x=0\), a więc \(y=0\). Zatem \(S=(0,0)\) (sprawdzenie: \(|SA|=|SB|=|SC|=\sqrt5\)). **Krok \(10\).** Sprawdzamy, czy \(S\) leży na prostej \(k\): wstawiamy \(x=0\) i otrzymujemy \(y=\frac13\cdot0-\frac53=-\frac53\neq0\). Punkt \(S=(0,0)\) nie spełnia równania prostej \(k\), więc do niej nie należy. **Uwaga.** Podpunkt d) można uzasadnić też bez liczenia \(S\): prosta \(k\) jest prostopadła do \(BC\) i przechodzi przez \(A\); gdyby przechodziła także przez środek okręgu opisanego, byłaby symetralną boku \(BC\), a wtedy zachodziłoby \(|AB|=|AC|\). Tymczasem \(|AC|=\sqrt{2^2+4^2}=\sqrt{20}\neq\sqrt{10}=|AB|\), więc tak nie jest. Wystarczy jedno z tych uzasadnień. **Odpowiedź.** a) \(|AB|=\sqrt{10}\); b) \(m:\ y=-3x+5\); c) \(k:\ y=\frac13x-\frac53\); d) środek okręgu opisanego to \(S=(0,0)\), a ten punkt nie spełnia równania prostej \(k\), więc do niej nie należy.

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **(1 pkt)** – obliczenie \(\lvert AB\rvert=\sqrt{10}\). **(2 pkt)** – wyznaczenie równania prostej \(m\): \(y=-3x+5\); w tym \(1\) pkt za poprawną metodę. **(1 pkt)** – wyznaczenie współczynnika kierunkowego prostej \(k\): \(\frac{1}{3}\). **(1 pkt)** – wyznaczenie równania prostej \(k\): \(y=\frac{1}{3}x-\frac{5}{3}\). **(1 pkt)** – zapisanie warunku, jaki musiałby spełniać środek okręgu opisanego, aby należał do prostej \(k\). **(1 pkt)** – sprawdzenie warunku i uzasadnienie odpowiedzi: \(\lvert AC\rvert=\sqrt{20}\ne\sqrt{10}\), więc środek okręgu opisanego na trójkącie \(ABC\) nie należy do prostej \(k\).

Formuła 2002: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.