Liczby rzeczywiste
Zadanie 8, próbna czerwiec 2004, poziom podstawowy
Ciąg \((a_n)\) określony jest wzorem
\[a_n=n^2-5.\]
a) Wyznacz liczbę ujemnych wyrazów tego ciągu.
b) Sprawdź, na podstawie definicji, czy ciąg \((a_n)\) jest ciągiem geometrycznym.
Odpowiedź
a) Ciąg ma \(2\) wyrazy ujemne: \(a_1=-4\) i \(a_2=-1\). b) Nie, ciąg nie jest geometryczny, bo \(\frac{a_2}{a_1}=\frac14\), a \(\frac{a_3}{a_2}=-4\), więc iloraz kolejnych wyrazów nie jest stały.
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** W podpunkcie a) pytanie „ile wyrazów jest ujemnych” zamieniamy na nierówność \(a_n\lt0\), którą rozwiązujemy w zbiorze liczb naturalnych dodatnich (bo \(n\) numeruje wyrazy). W podpunkcie b) trzeba sięgnąć do definicji: ciąg jest geometryczny, gdy iloraz każdego wyrazu przez poprzedni jest stały.
**Krok \(2\).** Zapisujemy nierówność z podpunktu a):
\[n^2-5\lt0,\qquad n^2\lt5.\]
**Krok \(3\).** Ponieważ \(n\) jest liczbą naturalną dodatnią, warunek \(n^2\lt5\) oznacza \(n\lt\sqrt5\approx2{,}24\). Spełniają go tylko \(n=1\) i \(n=2\).
**Krok \(4\).** Sprawdzamy te wyrazy: \(a_1=1-5=-4\) oraz \(a_2=4-5=-1\). Oba są ujemne, a już \(a_3=9-5=4\) jest dodatni i dalej wyrazy tylko rosną. Ujemne wyrazy są więc dwa.
**Krok \(5\).** Podpunkt b). Aby ciąg był geometryczny, iloraz \(\frac{a_{n+1}}{a_n}\) musiałby być taki sam dla każdego \(n\). Wystarczy więc policzyć dwa pierwsze ilorazy i porównać je.
**Krok \(6\).** Mamy \(a_1=-4\), \(a_2=-1\), \(a_3=4\), zatem
\[\frac{a_2}{a_1}=\frac{-1}{-4}=\frac14,\qquad \frac{a_3}{a_2}=\frac{4}{-1}=-4.\]
**Krok \(7\).** Otrzymane ilorazy są różne (\(\frac14\neq-4\)), więc nie istnieje stała \(q\) spełniająca warunek definicji. Ciąg \((a_n)\) nie jest geometryczny.
**Krok \(8\).** Widać to też ogólnie: \(\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{(n+1)^2-5}{n^2-5}=\frac{n^2+2n-4}{n^2-5}\), a to wyrażenie zmienia się wraz z \(n\).
**Uwaga.** Do obalenia hipotezy wystarczy jeden kontrprzykład — dwa różne ilorazy kolejnych wyrazów. Nie trzeba badać wszystkich \(n\), ale trzeba wykonać rachunek, a nie tylko stwierdzić, że „wzór nie wygląda na geometryczny”.
**Odpowiedź.** a) Ciąg ma dwa wyrazy ujemne: \(a_1=-4\) i \(a_2=-1\). b) Nie, ciąg \((a_n)\) nie jest geometryczny, bo \(\frac{a_2}{a_1}=\frac14\), a \(\frac{a_3}{a_2}=-4\).
Klucz i zasady oceniania
*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.*
**(1 pkt)** – zapisanie nierówności \(n^{2}-5<0\).
**(1 pkt)** – rozwiązanie nierówności w zbiorze liczb naturalnych: \(n\in\{1,\,2\}\).
**(1 pkt)** – podanie liczby ujemnych wyrazów ciągu: \(2\).
**(1 pkt)** – zapisanie warunku na ciąg geometryczny, np. \(\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\mathrm{const}\).
**(1 pkt)** – obliczenie \(\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\frac{n^{2}+2n-4}{n^{2}-5}\).
**(1 pkt)** – stwierdzenie, że iloraz zależy od \(n\), więc ciąg nie jest geometryczny.
Wymagania podstawy programowej
Formuła 2002: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.
