Wartość bezwzględna
Zadanie 10, próbna czerwiec 2004, poziom podstawowy
Dane są liczby
\[a=\frac{\sqrt3-2}{5},\qquad b=\frac{\sqrt3+2}{5}.\]
a) Sprawdź, czy
\[\frac{a-b}{a\cdot b}=20.\]
b) Oblicz
\[\left|\frac ab\right|.\]
Odpowiedź
a) Tak — równość zachodzi, \(\frac{a-b}{a\cdot b}=20\).
b) \(\left|\frac ab\right|=7-4\sqrt3\).
Rozwiązanie krok po kroku
**a)** Obliczamy osobno licznik i mianownik. Różnica:
\[a-b=\frac{\sqrt3-2}{5}-\frac{\sqrt3+2}{5}=\frac{-4}{5}.\]
Iloczyn liczymy ze wzoru na różnicę kwadratów:
\[a\cdot b=\frac{(\sqrt3-2)(\sqrt3+2)}{25}=\frac{3-4}{25}=-\frac1{25}.\]
Zatem
\[\frac{a-b}{a\cdot b}=\frac{-\frac45}{-\frac1{25}}=-\frac45\cdot(-25)=20,\]
czyli podana równość jest prawdziwa.
**b)** Usuwamy niewymierność z mianownika ilorazu:
\[\frac ab=\frac{\sqrt3-2}{\sqrt3+2}=\frac{(\sqrt3-2)^2}{(\sqrt3+2)(\sqrt3-2)}=\frac{7-4\sqrt3}{-1}=4\sqrt3-7.\]
Zanim zastosujemy definicję wartości bezwzględnej, badamy znak tej liczby. Ponieważ \(4\sqrt3=\sqrt{48}<\sqrt{49}=7\), mamy \(4\sqrt3-7<0\), a zatem
\[\left|\frac ab\right|=-(4\sqrt3-7)=7-4\sqrt3.\]
**Odpowiedź.** a) Równość zachodzi. b) \(\left|\frac ab\right|=7-4\sqrt3\).
Klucz i zasady oceniania
*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.*
**(1 pkt)** – obliczenie \(a-b=-\frac{4}{5}\).
**(1 pkt)** – obliczenie \(a\cdot b=-\frac{1}{25}\).
**(1 pkt)** – sprawdzenie, że \(\frac{a-b}{a\cdot b}=20\).
**(1 pkt)** – obliczenie \(\frac{a}{b}=4\sqrt{3}-7\).
**(1 pkt)** – zbadanie znaku wyrażenia: \(4\sqrt{3}-7<0\).
**(1 pkt)** – zastosowanie definicji wartości bezwzględnej: \(\left\lvert\frac{a}{b}\right\rvert=7-4\sqrt{3}\).
Wymagania podstawy programowej
Formuła 2002: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.
