Równania i nierówności
Zadanie 23, maj 2025, poziom podstawowy
W kartezjańskim układzie współrzędnych proste \(k\) oraz \(l\) są określone równaniami
\[k:\ y=(m-2)x+5\qquad\text{oraz}\qquad l:\ y=-4x+(m+3).\]
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Proste \(k\) oraz \(l\) są równoległe, gdy liczba \(m\) jest równa
**A.** \(-4\)
**B.** \(-2\)
**C.** \(2\)
**D.** \(5\)
Odpowiedź
**B.** Proste są równoległe, gdy mają równe współczynniki kierunkowe: \(m-2=-4\). Stąd \(m=-2\).
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Obie proste są zapisane w postaci kierunkowej \(y=ax+b\). W takim zapisie o kierunku prostej decyduje wyłącznie współczynnik \(a\) stojący przy \(x\), a wyraz wolny \(b\) przesuwa prostą w górę lub w dół. Dwie proste są równoległe dokładnie wtedy, gdy ich współczynniki kierunkowe są równe.
**Krok \(2\).** Odczytujemy współczynniki kierunkowe: dla prostej \(k\) jest to \(m-2\), dla prostej \(l\) jest to \(-4\).
**Krok \(3\).** Zapisujemy warunek równoległości:
\[m-2=-4.\]
**Krok \(4\).** Rozwiązujemy to równanie:
\[m=-4+2=-2.\]
**Krok \(5\).** Sprawdzamy, jak wyglądają wtedy obie proste. Dla \(m=-2\) mamy
\[k:\ y=-4x+5,\qquad l:\ y=-4x+(-2+3)=-4x+1.\]
Współczynniki kierunkowe są równe, a wyrazy wolne różne (\(5\ne1\)), więc to rzeczywiście dwie różne proste równoległe.
**Uwaga.** Nie porównujemy wyrazów wolnych \(5\) i \(m+3\) — gdyby były równe przy równych współczynnikach kierunkowych, proste by się pokrywały. Warunek równoległości dotyczy tylko liczb przy \(x\).
**Odpowiedź.** B: \(m=-2\)
Klucz i zasady oceniania
1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji - stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych.
**Wymagania szczegółowe:**
IX.2) Zdający posługuje się równaniami prostych na płaszczyźnie, w postaci kierunkowej […], w tym wyznacza równanie prostej o zadanych własnościach (takich, jak np. […] równoległość do innej prostej).
