Zadanie 24 – matura z matematyki maj 2025, poziom podstawowy

**B.** Kwadrat promienia wynosi \(|SP|^{2}=(2-0)^{2}+(4-0)^{2}=20\). Równanie okręgu to \((x-2)^{2}+(y-4)^{2}=20\).

**Krok \(1\).** Znamy środek okręgu i jeden jego punkt. Równanie okręgu o środku \(S=(a,b)\) i promieniu \(r\) ma postać \((x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}\), więc do jego napisania brakuje nam tylko \(r^{2}\), które wyliczymy z odległości \(|SP|\). **Krok \(2\).** Wstawiamy współrzędne środka \(S=(2,4)\). Lewa strona równania to \[(x-2)^{2}+(y-4)^{2},\] a więc w nawiasach są znaki minus. Warianty ze znakami plus opisują okrąg o środku \((-2,-4)\) i od razu odpadają. **Krok \(3\).** Liczymy kwadrat promienia jako kwadrat odległości środka od punktu \(P=(0,0)\) leżącego na okręgu: \[r^{2}=|SP|^{2}=(2-0)^{2}+(4-0)^{2}=4+16=20.\] **Krok \(4\).** Po prawej stronie równania okręgu stoi \(r^{2}\), czyli \(20\). Sam promień to \(r=\sqrt{20}=2\sqrt5\) i to właśnie ta liczba pojawia się w błędnych wariantach. **Krok \(5\).** Składamy równanie: \[(x-2)^{2}+(y-4)^{2}=20.\] Sprawdzamy, że punkt \(P=(0,0)\) je spełnia: \((0-2)^{2}+(0-4)^{2}=4+16=20\). **Uwaga.** Po prawej stronie równania okręgu jest zawsze kwadrat promienia, a nie promień. Wpisanie \(2\sqrt5\) zamiast \(20\) to najczęstszy błąd w tym zadaniu. **Odpowiedź.** B, czyli \((x-2)^{2}+(y-4)^{2}=20\).

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji - stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** IX.4) Zdający posługuje się równaniem okręgu \((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\).