Zadanie 32 – matura z matematyki maj 2018, poziom podstawowy

C = (\(\frac{32}{5}\), \(\frac{79}{5}\)). Wektor BA = (−\(6\), −\(2\)), a dla C = (x, \(2x\) + \(3\)) wektor BC = (x − \(10\), \(2x\) − \(2\)). Warunek kąta prostego przy B daje BA·BC = −\(6\)(x − \(10\)) − \(2\)(\(2x\) − \(2\)) = \(0\), więc x = \(\frac{32}{5}\) i y = \(2x\) + \(\frac{3 = 79}{5}\).

**Krok \(1\).** Kąt \(ABC\) jest prosty, czyli wierzchołek kąta prostego leży w punkcie \(B\). Prostopadłe są więc ramiona wychodzące z \(B\): odcinki \(BA\) i \(BC\). Najwygodniej użyć wektorów — dwa wektory są prostopadłe dokładnie wtedy, gdy ich iloczyn skalarny jest równy zeru. **Krok \(2\).** Punkt \(C\) leży na prostej \(y=2x+3\), więc jego współrzędne zależą od jednej niewiadomej: \[C=(x,\ 2x+3).\] **Krok \(3\).** Wyznaczamy oba wektory wychodzące z \(B=(10,5)\): \[\vec{BA}=[4-10,\ 3-5]=[-6,-2],\] \[\vec{BC}=[x-10,\ (2x+3)-5]=[x-10,\ 2x-2].\] **Krok \(4\).** Iloczyn skalarny wektorów \([u_1,u_2]\) i \([w_1,w_2]\) to \(u_1w_1+u_2w_2\). Przyrównujemy go do zera: \[-6(x-10)+(-2)(2x-2)=0.\] **Krok \(5\).** Rozwiązujemy to równanie: \[-6x+60-4x+4=0,\qquad -10x+64=0,\qquad x=\tfrac{64}{10}=\tfrac{32}{5}.\] **Krok \(6\).** Obliczamy drugą współrzędną: \[y=2\cdot\tfrac{32}{5}+3=\tfrac{64}{5}+\tfrac{15}{5}=\tfrac{79}{5}.\] **Krok \(7\).** Sprawdzenie. Dla \(C=\left(\frac{32}{5},\frac{79}{5}\right)\) mamy \(\vec{BC}=\left[\frac{32}{5}-10,\ \frac{79}{5}-5\right]=\left[-\frac{18}{5},\frac{54}{5}\right]\), a iloczyn skalarny \[(-6)\cdot\left(-\tfrac{18}{5}\right)+(-2)\cdot\tfrac{54}{5}=\tfrac{108}{5}-\tfrac{108}{5}=0.\] Kąt przy \(B\) jest więc prosty. **Krok \(8\).** Ten sam wynik daje metoda prostych prostopadłych: współczynnik kierunkowy prostej \(AB\) to \(\frac{5-3}{10-4}=\frac13\), prosta prostopadła do niej ma współczynnik \(-3\) i przechodzi przez \(B\), czyli \(y=-3x+35\); z układu \(y=2x+3\) i \(y=-3x+35\) otrzymujemy \(5x=32\), a więc znowu \(x=\frac{32}{5}\). **Uwaga.** Kluczowe jest, przy którym wierzchołku jest kąt prosty. Zapis \(ABC\) oznacza kąt o wierzchołku \(B\), więc mnożymy wektory wychodzące z \(B\). Wykorzystanie wektorów \(\vec{CA}\) i \(\vec{CB}\) prowadziłoby do zupełnie innego (błędnego tutaj) punktu. **Odpowiedź.** \(C=\left(\frac{32}{5},\frac{79}{5}\right)\).

**1 pkt** – rozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania: zdający uzależni obie współrzędne punktu \(C\) od jednej zmiennej, albo zapisze równość \(\lvert AC\rvert^{2}=\lvert AB\rvert^{2}+\lvert BC\rvert^{2}\) i obliczy długość \(\lvert AB\rvert\), albo zapisze tę równość i zapisze jedną z długości \(\lvert AC\rvert\) lub \(\lvert BC\rvert\) w zależności od współrzędnych punktu \(C\), albo obliczy współrzędne wektora \(\vec{AB}=[6,\,2]\) i zapisze, że \(\vec{AB}\circ\vec{BC}=0\), albo wyznaczy współrzędne wektora \(\vec{BC}\) w zależności od współrzędnych punktu \(C\) i zapisze, że \(\vec{AB}\circ\vec{BC}=0\), albo obliczy współczynnik kierunkowy równania prostej \(AB\), i na tym zakończy lub dalej popełni błędy. **2 pkt** – rozwiązanie, w którym jest istotny postęp: zdający wyznaczy współczynnik kierunkowy prostej prostopadłej do prostej \(AB\) i przechodzącej przez punkt \(B\), albo zapisze równanie z dwiema niewiadomymi, albo obliczy współrzędne wektora \(\vec{AB}=[6,\,2]\), wyznaczy współrzędne wektora \(\vec{BC}\) w zależności od jednej współrzędnej punktu \(C\) i zapisze, że \(\vec{AB}\circ\vec{BC}=0\), albo zapisze równość wynikającą z warunku \(\vec{AB}\circ\vec{BC}=0\), w której niewiadomymi są dwie współrzędne punktu \(C\), i na tym zakończy lub dalej popełni błędy. **3 pkt** – pokonanie zasadniczych trudności zadania: zdający zapisze równanie z jedną niewiadomą, która jest współrzędną punktu \(C\), i na tym zakończy lub dalej popełni błędy. **4 pkt** – rozwiązanie prawie pełne: zdający obliczy \(x\) albo \(y\) i na tym zakończy lub dalej popełni błędy, albo obliczy obie współrzędne punktu \(C\) z błędami rachunkowymi. **5 pkt** – rozwiązanie pełne: zdający obliczy i zapisze współrzędne punktu \(C=\left(\frac{32}{5},\,\frac{79}{5}\right)\).

IV. Użycie i tworzenie strategii. 8. Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej. Zdający wyznacza równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty (8.1), równanie prostej prostopadłej do danej i przechodzącej przez punkt (8.3) oraz punkt przecięcia dwóch prostych (8.4).