Czworokąty
Zadanie 8, maj 2009, poziom podstawowy
W trapezie \(ABCD\) długość podstawy \(CD\) jest równa \(18\), a długości ramion trapezu \(AD\) i \(BC\) są odpowiednio równe \(25\) i \(15\). Kąty \(ADB\) i \(DCB\), zaznaczone na rysunku, mają równe miary. Oblicz obwód tego trapezu.
Odpowiedź
Obwód trapezu jest równy \(108\).
Rozwiązanie krok po kroku
Z rysunku odczytujemy, że \(AB\) jest dłuższą podstawą, \(CD\) krótszą, a poprowadzona przekątna \(DB\) wyznacza dwa trójkąty: \(ABD\) i \(BDC\). Zaznaczone kąty równe to \(\angle ADB\) oraz \(\angle DCB\).
Ponieważ \(CD\parallel AB\), kąty \(BDC\) i \(DBA\) są naprzemianległe, więc
\[\lvert\angle BDC\rvert=\lvert\angle DBA\rvert.\]
Razem z założeniem \(\lvert\angle ADB\rvert=\lvert\angle DCB\rvert\) daje to podobieństwo trójkątów (cecha kąt-kąt):
\[\triangle ABD\sim\triangle BDC,\]
przy czym odpowiadają sobie wierzchołki \(A\leftrightarrow B\), \(B\leftrightarrow D\), \(D\leftrightarrow C\).
Z proporcji boków odpowiadających
\[\frac{\lvert AB\rvert}{\lvert BD\rvert}=\frac{\lvert BD\rvert}{\lvert DC\rvert}=\frac{\lvert AD\rvert}{\lvert BC\rvert}=\frac{25}{15}=\frac53.\]
Z drugiej równości
\[\lvert BD\rvert=\tfrac53\lvert DC\rvert=\tfrac53\cdot18=30,\]
a z pierwszej
\[\lvert AB\rvert=\tfrac53\lvert BD\rvert=\tfrac53\cdot30=50.\]
Obwód trapezu:
\[L=\lvert AB\rvert+\lvert BC\rvert+\lvert CD\rvert+\lvert DA\rvert=50+15+18+25=108.\]
**Odpowiedź.** Obwód trapezu jest równy \(108\).
Klucz i zasady oceniania
*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.*
Właściwego klucza do tego zadania brak w materiale źródłowym.
Wymagania podstawy programowej
Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.
