Równania i nierówności
Zadanie 14, maj 2003, poziom rozszerzony
Odcinek \(CD\) jest obrazem odcinka \(AB\) w jednokładności o skali \(k<0\). Wiedząc, że \(A=(-2,0)\), \(B=(0,-2)\), \(C=(3,4)\), \(D=(7,0)\), wyznacz:
a) równanie prostej przechodzącej przez punkt \(A\) i jego obraz w tej jednokładności,
b) równanie prostej przechodzącej przez punkt \(B\) i jego obraz w tej jednokładności,
c) współrzędne środka tej jednokładności.
Odpowiedź
a) prosta \(AD\): \(y=0\); b) prosta \(BC\): \(y=2x-2\); c) środek jednokładności \(S=(1,0)\) (skala \(k=-2\)).
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** W treści pojawia się jednokładność o ujemnej skali. Kluczowa własność jest taka: punkt, jego obraz i środek jednokładności zawsze leżą na jednej prostej, a wektor obrazu jest równy wektorowi pierwotnemu pomnożonemu przez skalę \(k\). Zanim cokolwiek policzymy, musimy ustalić, który z punktów \(C\), \(D\) jest obrazem \(A\), a który obrazem \(B\).
**Krok \(2\).** Liczymy wektor \(\vec{AB}\):
\[\vec{AB}=[\,0-(-2),\ -2-0\,]=[2,-2].\]
**Krok \(3\).** Obraz odcinka \(AB\) to odcinek o końcach będących obrazami \(A\) i \(B\), a wektor obrazu spełnia \(\vec{A^{\prime}B^{\prime}}=k\cdot\vec{AB}\). Sprawdzamy obie możliwości:
\[\vec{CD}=[7-3,\ 0-4]=[4,-4]=2\cdot[2,-2],\qquad \vec{DC}=[3-7,\ 4-0]=[-4,4]=-2\cdot[2,-2].\]
**Krok \(4\).** Skala ma być ujemna, więc odpada wariant ze skalą \(2\). Zostaje \(\vec{DC}=-2\cdot\vec{AB}\), czyli obrazem \(A\) jest punkt \(D\), obrazem \(B\) jest punkt \(C\), a skala wynosi \(k=-2\).
**Krok \(5\).** a) Prosta przez \(A=(-2,0)\) i jego obraz \(D=(7,0)\). Oba punkty mają drugą współrzędną równą \(0\), więc jest to prosta pozioma:
\[y=0.\]
**Krok \(6\).** b) Prosta przez \(B=(0,-2)\) i jego obraz \(C=(3,4)\). Współczynnik kierunkowy:
\[a=\frac{4-(-2)}{3-0}=\frac{6}{3}=2.\]
Punkt \(B\) leży na osi \(OY\), więc wyraz wolny to \(-2\) i prosta ma równanie
\[y=2x-2.\]
**Krok \(7\).** c) Środek jednokładności leży na prostej \(AD\) i jednocześnie na prostej \(BC\) (bo przechodzi przez każdy punkt razem z jego obrazem). Rozwiązujemy układ: podstawiamy \(y=0\) do \(y=2x-2\), skąd \(0=2x-2\), czyli \(x=1\). Zatem \(S=(1,0)\).
**Krok \(8\).** Sprawdzenie. \(\vec{SA}=[-3,0]\) oraz \(\vec{SD}=[6,0]=-2\cdot\vec{SA}\); podobnie \(\vec{SB}=[-1,-2]\) oraz \(\vec{SC}=[2,4]=-2\cdot\vec{SB}\). Skala jest ta sama i ujemna, więc wynik jest poprawny.
**Uwaga.** Gdyby przyjąć, że obrazem \(A\) jest \(C\), a obrazem \(B\) jest \(D\), otrzymalibyśmy skalę \(k=2\), a więc dodatnią. Warunek \(k\lt0\) jest w tym zadaniu tym, co jednoznacznie rozstrzyga przyporządkowanie punktów.
**Odpowiedź.** a) \(y=0\); b) \(y=2x-2\); c) środek jednokładności \(S=(1,0)\) (przy skali \(k=-2\)).
Klucz i zasady oceniania
**1. (1 pkt)** – ustalenie, że punkt \(D\) jest obrazem punktu \(A\) oraz punkt \(C\) jest obrazem punktu \(B\). Fakt ten może być opisany słownie, przedstawiony rysunkiem lub wykorzystany podczas rozwiązania.
**2. (1 pkt)** – wyznaczenie równania prostej \(AD\). Odp. \(y=0\)
**3. (1 pkt)** – wyznaczenie równania prostej \(BC\). Odp. \(y=2x-2\)
**4. (1 pkt)** – wyznaczenie współrzędnych środka jednokładności. Odp. \((1,\,0)\)
Wymagania podstawy programowej
Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.
