Równania i nierówności
Zadanie 13, maj 2003, poziom rozszerzony
Niech \(\Omega\) będzie zbiorem wszystkich zdarzeń elementarnych oraz \(A\subset\Omega\), \(B\subset\Omega\). Oblicz \(P(A\cap B)\), wiedząc, że
\[P(A\cup B)=\frac58,\qquad P(A)=\frac12,\qquad P(B')=\frac34.\]
Sprawdź, czy zdarzenia \(A\) i \(B\) są niezależne.
Odpowiedź
\(P(A\cap B)=\dfrac{1}{8}\). Zdarzenia \(A\) i \(B\) są niezależne, bo \(P(A)\cdot P(B)=\dfrac12\cdot\dfrac14=\dfrac18=P(A\cap B)\).
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** W treści są podane prawdopodobieństwa sumy \(P(A\cup B)\), zdarzenia \(A\) oraz zdarzenia przeciwnego \(B^{\prime}\). To wskazuje na dwa narzędzia: wzór \(P(B^{\prime})=1-P(B)\) oraz wzór na prawdopodobieństwo sumy \(P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\). Niezależność sprawdzimy na końcu z definicji: zdarzenia są niezależne dokładnie wtedy, gdy \(P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)\).
**Krok \(2\).** Najpierw wyznaczamy \(P(B)\), bo dane jest prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego:
\[P(B)=1-P(B^{\prime})=1-\frac34=\frac14.\]
**Krok \(3\).** Wzór na prawdopodobieństwo sumy przekształcamy tak, aby po lewej stronie została szukana wielkość:
\[P(A\cap B)=P(A)+P(B)-P(A\cup B).\]
**Krok \(4\).** Podstawiamy dane i sprowadzamy ułamki do wspólnego mianownika \(8\):
\[P(A\cap B)=\frac12+\frac14-\frac58=\frac48+\frac28-\frac58=\frac18.\]
**Krok \(5\).** Sprawdzamy warunek niezależności. Liczymy osobno iloczyn prawdopodobieństw:
\[P(A)\cdot P(B)=\frac12\cdot\frac14=\frac18.\]
**Krok \(6\).** Porównujemy obie liczby: \(P(A\cap B)=\frac18\) oraz \(P(A)\cdot P(B)=\frac18\). Są równe, więc warunek niezależności jest spełniony.
**Uwaga.** W danych występuje \(P(B^{\prime})\), a nie \(P(B)\) — podstawienie \(\frac34\) w miejsce \(P(B)\) daje błędny wynik. Zauważ też, że niezależność zdarzeń to co innego niż ich rozłączność: tutaj zdarzenia mają część wspólną o dodatnim prawdopodobieństwie.
**Odpowiedź.** \(P(A\cap B)=\dfrac18\); zdarzenia \(A\) i \(B\) są niezależne, bo \(P(A)\cdot P(B)=\dfrac18=P(A\cap B)\).
Klucz i zasady oceniania
**1. (1 pkt)** – obliczenie \(P(B)\). Odp. \(P(B)=\frac{1}{4}\)
**2. (1 pkt)** – obliczenie \(P(A\cap B)\): \(P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\). Odp. \(P(A\cap B)=\frac{1}{8}\)
**3. (1 pkt)** – porównanie liczb \(P(A\cap B)\) oraz \(P(A)\cdot P(B)\) i zapisanie odpowiedzi, że zdarzenia \(A\) i \(B\) są niezależne.
Wymagania podstawy programowej
Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.
