Geometria analityczna
Zadanie 32, lipiec 2020, poziom podstawowy
Punkty \(A=(1,-1), B=(6{,}1), C=(7{,}5), D=(2{,}4)\) są wierzchołkami czworokąta ABCD. Oblicz punkt przecięcia przekątnych.
Odczyt redakcyjny — współrzędne zapisane jak liczba dziesiętna
Prawdopodobny zapis: \(B=(6,1)\), \(C=(7,5)\) oraz \(D=(2,4)\) — pary współrzędnych, nie liczby dziesiętne 6,1 / 7,5 / 2,4; pierwszy wierzchołek \(A=(1,-1)\) zapisano poprawnie.
trzy z czterech par rozdzielono makrem \(\{,\}\), a czwarta, \(A=(1,-1)\), ma zwykły przecinek; przekątna \(AC\) przez \((1,-1)\) i \((7,5)\) ma równanie \(y=x-2\), przekątna \(BD\) przez \((6,1)\) i \((2,4)\) ma współczynnik \(\frac{4-1}{2-6}=-\frac{3}{4}\) i równanie \(y=-\frac{3}{4}x+\frac{11}{2}\); z układu \(x-2=-\frac{3}{4}x+\frac{11}{2}\) wychodzi \(\frac{7}{4}x=\frac{15}{2}\), czyli \(x=\frac{30}{7}\) i \(y=\frac{16}{7}\) — dokładnie \(M=\left(\frac{30}{7},\frac{16}{7}\right)\) z odpowiedzi.
Odpowiedź
\[M=\left(\frac{30}{7},\frac{16}{7}\right).\]
Rozwiązanie krok po kroku
Przekątne czworokąta \(ABCD\) to odcinki \(AC\) i \(BD\); szukany punkt jest przecięciem prostych, w których te odcinki są zawarte.
Prosta \(AC\) przechodzi przez \(A=(1,-1)\) i \(C=(7,5)\), więc jej współczynnik kierunkowy jest równy \(\frac{5-(-1)}{7-1}=1\) i
\[AC:\ y=x-2.\]
Prosta \(BD\) przechodzi przez \(B=(6,1)\) i \(D=(2,4)\), więc jej współczynnik kierunkowy jest równy \(\frac{4-1}{2-6}=-\frac34\) i
\[BD:\ y=-\frac34x+\frac{11}{2}.\]
Porównujemy prawe strony:
\[x-2=-\frac34x+\frac{11}{2}\quad\Longleftrightarrow\quad \frac74x=\frac{15}{2}\quad\Longleftrightarrow\quad x=\frac{30}{7}.\]
Stąd \(y=\frac{30}{7}-2=\frac{16}{7}\).
Sprawdzenie: \(-\frac34\cdot\frac{30}{7}+\frac{11}{2}=-\frac{45}{14}+\frac{77}{14}=\frac{32}{14}=\frac{16}{7}\), więc punkt leży na obu prostych.
**Odpowiedź.** \(M=\left(\frac{30}{7},\frac{16}{7}\right)\)
Klucz i zasady oceniania
*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.*
Klucz CKE dla sesji dodatkowej 2020 nie publikuje modelu odpowiedzi dla tego zadania.
Wyznaczenie równań obu przekątnych.
Rozwiązanie układu.
Podanie współrzędnych punktu przecięcia: \(M=\left(\frac{30}{7},\,\frac{16}{7}\right)\).
Wymagania podstawy programowej
Zadanie 32.
Klucz CKE dla sesji dodatkowej 2020 nie zawiera tabeli wymagań egzaminacyjnych. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Geometria analityczna.
