Wartości funkcji trygonometrycznych
Zadanie 31, lipiec 2020, poziom podstawowy
Prosta \(k\) jest nachylona do osi \(Ox\) pod kątem ostrym \(\alpha\), takim że
\[\cos\alpha=\frac{\sqrt3}{3}.\]
Wyznacz współczynnik kierunkowy prostej \(k\).
Odpowiedź
Współczynnik kierunkowy prostej \(k\) jest równy
\[\sqrt2.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Współczynnik kierunkowy prostej jest równy \(\operatorname{tg}\alpha\). Z jedynki trygonometrycznej
\[\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\]
otrzymujemy
\[\sin^2\alpha=1-\left(\frac{\sqrt3}{3}\right)^2=1-\frac13=\frac23.\]
Kąt \(\alpha\) jest ostry, więc
\[\sin\alpha=\frac{\sqrt6}{3}.\]
Zatem
\[\operatorname{tg}\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{\sqrt6/3}{\sqrt3/3}=\sqrt2.\]
Klucz i zasady oceniania
**2 pkt** – wyznaczenie współczynnika kierunkowego \(\sqrt2\)
**1 pkt** – wyznaczenie \(\sin\alpha=\frac{\sqrt6}{3}\)
**0 pkt** – rozwiązanie niespełniające powyższych kryteriów albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
IV. użycie i tworzenie strategii.
**Wymagania szczegółowe:**
6.4 stosowanie jedynki trygonometrycznej i zależności \(\operatorname{tg}\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\).
