Geometria płaska
Zadanie 29, lipiec 2020, poziom podstawowy
Bok AB jest średnicą okręgu opisanego na trójkącie ABC. Punkt D leży na tym okręgu, a SD jest zawarty w symetralnej BC. Wykaż, że AD leży w dwusiecznej kąta CAB.
Odpowiedź
AD jest dwusieczną: równe cięciwy DB i DC wyznaczają równe łuki, więc ∠BAD=∠DAC
Rozwiązanie krok po kroku
Punkt \(S\) jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie \(ABC\) — leży on na średnicy \(AB\), a więc w jej środku.
Symetralna cięciwy \(BC\) przechodzi przez środek okręgu, zatem prosta \(SD\) jest symetralną \(BC\). Symetria względem tej prostej przeprowadza okrąg na siebie i zamienia miejscami punkty \(B\) i \(C\), więc punkt \(D\) — leżący na osi symetrii i na okręgu — jest środkiem łuku \(BC\). Wobec tego
\[\lvert BD\rvert=\lvert CD\rvert.\]
Kąty wpisane oparte na równych cięciwach (a więc i na równych łukach) mają równe miary, zatem
\[\lvert\angle BAD\rvert=\lvert\angle DAC\rvert,\]
czyli półprosta \(AD\) dzieli kąt \(CAB\) na dwa kąty równe — jest jego dwusieczną, co należało wykazać.
**Odpowiedź.** Odcinek \(AD\) zawiera się w dwusiecznej kąta \(CAB\).
Klucz i zasady oceniania
1 pkt: wykazanie równości łuków BD i CD, równoległości AC i SD albo równych kątów pomocniczych.
2 pkt: pełny dowód.
Wymagania podstawy programowej
Zadanie 29.
Klucz CKE dla sesji dodatkowej 2020 nie zawiera tabeli wymagań egzaminacyjnych. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Geometria płaska.
