Zadanie 12 – matura z matematyki czerwiec 2026, poziom rozszerzony

Pole trapezu \(KLMN\) jest równe \(\displaystyle \frac{63\sqrt{3}}{8}\).

Oznaczmy krawędź podstawy przez \(a\), a wysokość ostrosłupa przez \(H\). Niech \(O\) będzie środkiem podstawy; punkty \(K\) i \(L\) są środkami krawędzi \(AD\) i \(BC\), więc odcinek \(KL\) przechodzi przez \(O\) i \(|KL|=a\). Niech \(N_0\) będzie środkiem krawędzi \(CD\). Wtedy \(SN_0\) jest wysokością ściany \(CDS\), a \(ON_0=\frac a2\). Płaszczyzna \(\gamma\) zawiera prostą \(KL\) i jest nachylona do podstawy pod kątem \(30^{\circ}\). Z warunku prostopadłości \(\gamma\) do ściany \(CDS\) wynika, że w przekroju płaszczyzną \(SON_0\) prosta przekroju jest prostopadła do \(SN_0\). Kąt między \(SN_0\) a podstawą oznaczmy \(\beta\); wtedy \(\beta+30^{\circ}=90^{\circ}\), czyli \(\beta=60^{\circ}\) i \[H=\frac a2\tan60^{\circ}=\frac{a\sqrt3}2.\] Z objętości ostrosłupa \[\frac13a^{2}\cdot\frac{a\sqrt3}2=36\sqrt3\quad\Longrightarrow\quad a^{3}=216\quad\Longrightarrow\quad a=6,\qquad H=3\sqrt3.\] Przyjmijmy układ współrzędnych o początku w \(O\), w którym \(K=(-3,0,0)\), \(L=(3,0,0)\), \(C=(3,3,0)\), \(D=(-3,3,0)\), \(S=(0,0,3\sqrt3)\). Płaszczyzna \(\gamma\) zawiera oś \(x\) i tworzy z podstawą kąt \(30^{\circ}\), więc ma równanie \(z=\frac{y}{\sqrt3}\). Punkt \(M\) leży na \(CS\): dla \(M=C+t(S-C)=(3-3t,\,3-3t,\,3\sqrt3t)\) warunek \(3\sqrt3t=\frac{3-3t}{\sqrt3}\) daje \(t=\frac14\), więc \[M=\left(\tfrac94,\tfrac94,\tfrac{3\sqrt3}4\right),\qquad N=\left(-\tfrac94,\tfrac94,\tfrac{3\sqrt3}4\right),\qquad |MN|=\frac92.\] Wysokość trapezu to odległość prostych \(KL\) i \(MN\) w płaszczyźnie \(\gamma\): \[h=\sqrt{\left(\tfrac94\right)^{2}+\left(\tfrac{3\sqrt3}4\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81+27}{16}}=\frac{3\sqrt3}2.\] Pole trapezu: \[P=\frac{|KL|+|MN|}2\cdot h=\frac{6+\frac92}2\cdot\frac{3\sqrt3}2=\frac{63\sqrt3}8.\] **Odpowiedź.** \(P_{KLMN}=\frac{63\sqrt3}8\)

Rozwiązanie zadania składa się z trzech etapów. **Pierwszy etap** polega na obliczeniu długości krawędzi podstawy ostrosłupa. Za poprawne wykonanie tego etapu zdający otrzymuje 2 punkty. Podział punktów za pierwszy etap rozwiązania: **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. **1 pkt** – wyznaczenie wysokości ostrosłupa w zależności od długości krawędzi podstawy: \(H=\frac{a\sqrt{3}}{2}\). **2 pkt** – obliczenie długości krawędzi podstawy: \(a=6\). **Drugi etap** polega na wyznaczeniu długości krótszej podstawy trapezu oraz wysokości trapezu w zależności od długości krawędzi podstawy ostrosłupa. Za poprawne wykonanie tego etapu zdający otrzymuje 2 punkty. Podział punktów za drugi etap rozwiązania: **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. **1 pkt** – wyznaczenie długości krótszej podstawy trapezu lub wysokości trapezu w zależności od długości krawędzi podstawy ostrosłupa: \(\lvert MN\rvert=\frac{3}{4}a\) lub \(\lvert PR\rvert=\frac{a\sqrt{3}}{4}\) ALBO obliczenie długości krótszej podstawy trapezu lub wysokości trapezu: \(\lvert MN\rvert=\frac{18}{4}\) lub \(\lvert PR\rvert=\frac{6\sqrt{3}}{4}\). **2 pkt** – wyznaczenie długości krótszej podstawy trapezu oraz wysokości trapezu w zależności od długości krawędzi podstawy ostrosłupa: \(\lvert MN\rvert=\frac{3}{4}a\) oraz \(\lvert PR\rvert=\frac{a\sqrt{3}}{4}\) ALBO obliczenie długości krótszej podstawy trapezu oraz wysokości trapezu: \(\lvert MN\rvert=\frac{18}{4}\) oraz \(\lvert PR\rvert=\frac{6\sqrt{3}}{4}\). **Trzeci etap** polega na obliczeniu pola trapezu. Za poprawne wykonanie tego etapu zdający otrzymuje 1 punkt. **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. **1 pkt** – obliczenie pola przekroju ostrosłupa: \(\frac{63\sqrt{3}}{8}\).

**Wymagania ogólne:** IV. Rozumowanie i argumentacja - stosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach nietypowych. **Wymagania szczegółowe:** X.2) Zdający posługuje się pojęciem kąta między prostą a płaszczyzną oraz pojęciem kąta dwuściennego między półpłaszczyznami. X.R2) Zdający wyznacza przekroje sześcianu i ostrosłupów prawidłowych oraz oblicza ich pola, także z wykorzystaniem trygonometrii.