Zadanie 13.2 – matura z matematyki czerwiec 2026, poziom rozszerzony

Prosta \(AB\) ma równanie \(y=-2x+4\).

**Krok \(1\).** Metoda: szukamy wartości najmniejszej funkcji \(P\) na przedziale \((-\infty,0)\), badając znak jej pochodnej. Znaleziona wartość \(a\) to współczynnik kierunkowy szukanej prostej, a prosta przechodzi przez punkt \(K=(1,2)\). **Krok \(2\).** Różniczkujemy \(P(a)=\frac{-a^{2}+4a-4}{2a}\) ze wzoru na pochodną ilorazu: \[P^{\prime}(a)=\frac{(-2a+4)\cdot 2a-\left(-a^{2}+4a-4\right)\cdot 2}{(2a)^{2}}=\frac{-4a^{2}+8a+2a^{2}-8a+8}{4a^{2}}=\frac{-2a^{2}+8}{4a^{2}}=\frac{4-a^{2}}{2a^{2}}.\] **Krok \(3\).** Wyznaczamy miejsca zerowe pochodnej. Mianownik jest dodatni, więc \[P^{\prime}(a)=0\iff 4-a^{2}=0\iff a=-2\ \text{lub}\ a=2.\] Wartość \(a=2\) odrzucamy, bo nie należy do dziedziny \((-\infty,0)\). **Krok \(4\).** Badamy znak pochodnej na \((-\infty,0)\). Dla \(a\lt -2\) mamy \(a^{2}\gt 4\), więc \(P^{\prime}(a)\lt 0\); dla \(-2\lt a\lt 0\) mamy \(a^{2}\lt 4\), więc \(P^{\prime}(a)\gt 0\). **Krok \(5\).** Zatem \(P\) maleje na \((-\infty,-2\rangle\) i rośnie na \(\langle -2,0)\), a więc dla \(a=-2\) osiąga wartość najmniejszą: \[P(-2)=\frac{-4-8-4}{-4}=4.\] Najmniejsze pole trójkąta jest równe \(4\). **Krok \(6\).** Prosta zawierająca przeciwprostokątną \(AB\) przechodzi przez punkt \(K=(1,2)\) i ma współczynnik kierunkowy \(a=-2\): \[y=-2(x-1)+2,\qquad\text{czyli}\qquad y=-2x+4.\] **Krok \(7\).** Sprawdzenie: taka prosta przecina osie w punktach \(A=(2,0)\) i \(B=(0,4)\), więc pole trójkąta \(ABC\) wynosi \(\frac{1}{2}\cdot 2\cdot 4=4\) — zgadza się z krokiem \(5\). **Uwaga.** Miejsce zerowe pochodnej samo w sobie nie dowodzi, że mamy minimum. Dopiero zmiana znaku pochodnej z ujemnego na dodatni w punkcie \(a=-2\) pozwala tak wnioskować. **Odpowiedź.** Najmniejsze pole ma trójkąt, którego przeciwprostokątna leży na prostej \(y=-2x+4\) (pole to jest równe \(4\)).

**0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. **1 pkt** – wyznaczenie pochodnej funkcji \(P\), np. \(P'(a)=\frac{(-2a+4)\cdot 2a-(-a^{2}+4a-4)\cdot 2}{(2a)^{2}}\) ALBO zapisanie nierówności między średnią arytmetyczną a geometryczną liczb \(\left(-\frac{a}{2}\right)\) oraz \(\left(-\frac{2}{a}\right)\): \(\frac{\left(-\frac{a}{2}\right)+\left(-\frac{2}{a}\right)}{2}\geq\sqrt{\left(-\frac{a}{2}\right)\cdot\left(-\frac{2}{a}\right)}\). **2 pkt** – obliczenie miejsca zerowego pochodnej funkcji \(P\): \(a=-2\) ALBO obliczenie wartości \(a\), dla której zachodzi równość średniej arytmetycznej i geometrycznej liczb dodatnich \(\left(-\frac{a}{2}\right)\) oraz \(\left(-\frac{2}{a}\right)\): \(a=-2\), ALBO przekształcenie nierówności \(\frac{\left(-\frac{a}{2}\right)+\left(-\frac{2}{a}\right)}{2}\geq\sqrt{\left(-\frac{a}{2}\right)\cdot\left(-\frac{2}{a}\right)}\) do postaci \(\left(-\frac{a}{2}\right)+\left(-\frac{2}{a}\right)+2\geq 4\). **3 pkt** – uzasadnienie (np. poprzez badanie monotoniczności funkcji), że funkcja \(P\) przyjmuje wartość najmniejszą dla \(a=-2\) ALBO przekształcenie nierówności \(\frac{\left(-\frac{a}{2}\right)+\left(-\frac{2}{a}\right)}{2}\geq\sqrt{\left(-\frac{a}{2}\right)\cdot\left(-\frac{2}{a}\right)}\) do postaci \(\left(-\frac{a}{2}\right)+\left(-\frac{2}{a}\right)+2\geq 4\) oraz zapisanie, że równość zachodzi tylko wtedy, gdy liczby dodatnie \(\left(-\frac{a}{2}\right)\) oraz \(\left(-\frac{2}{a}\right)\) są równe. **4 pkt** – uzasadnienie, że funkcja \(P\) przyjmuje wartość najmniejszą dla \(a=-2\) oraz wyznaczenie równania prostej zawierającej przeciwprostokątną \(AB\) tego z trójkątów, który ma najmniejsze pole, np. \(y=-2x+4\). Uwagi: 1. Jeżeli zdający wyznacza pochodną ilorazu jako iloraz pochodnych, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie. 2. Jeżeli z rozwiązania wynika, że zdający poprawnie stosuje wzór na pochodną ilorazu funkcji oraz zdający poprawnie wyznacza pochodne funkcji \((-a^{2}+4a-4)\) oraz \(2a\) i dalej popełnia błędy, otrzymując pochodną, która ma w przedziale \((-\infty,0)\) co najmniej jedno miejsce zerowe, i konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to może otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie (za miejsce/a zerowe pochodnej, za uzasadnienie istnienia najmniejszej wartości funkcji \(P\), za wyznaczenie równania prostej \(AB\) tego z trójkątów, który ma najmniejsze pole). Jeżeli z rozwiązania nie wynika, że zdający poprawnie stosuje wzór na pochodną ilorazu funkcji lub zdający błędnie wyznacza pochodną funkcji \((-a^{2}+4a-4)\) lub \(2a\) i dalej popełnia błędy, otrzymując pochodną, która ma w przedziale \((-\infty,0)\) co najmniej jedno miejsce zerowe, i konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie (za uzasadnienie istnienia najmniejszej wartości funkcji \(P\) oraz za wyznaczenie równania prostej \(AB\) tego z trójkątów, który ma najmniejsze pole). 3. Za poprawne uzasadnienie, że rozważana funkcja osiąga wartość najmniejszą dla wyznaczonej wartości \(a\), przy której pochodna się zeruje, można uznać sytuację, gdy zdający bada znak pochodnej ORAZ: – opisuje (słownie lub graficznie – np. przy użyciu strzałek) monotoniczność funkcji \(P\) LUB – zapisuje, że dla wyznaczonej wartości \(a\) funkcja \(P\) ma minimum lokalne i jest to jednocześnie jej najmniejsza wartość, LUB – zapisuje, że dla wyznaczonej wartości \(a\) funkcja \(P\) ma minimum lokalne i jest to jedyne ekstremum tej funkcji, LUB – wyznaczy drugą pochodną funkcji \(P\) i dla wyznaczonej wartości \(a\) obliczy wartość tej drugiej pochodnej oraz zapisze, że funkcja \(P\) ma minimum lokalne i jest to jedyne ekstremum tej funkcji. Badanie znaku pochodnej zdający może opisać w inny sposób, np. szkicując wykres funkcji, która w ten sam sposób jak pochodna zmienia znak, i zaznaczając na rysunku (np. znakami „+” i „−”) znak pochodnej. 4. Jeżeli zdający przedstawi niepełne uzasadnienie, to może otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie (1 punkt za poprawne wyznaczenie pochodnej, 1 punkt za obliczenie miejsca zerowego pochodnej, 1 punkt za wyznaczenie równania prostej \(AB\), dla której pole trójkąta \(ABC\) jest najmniejsze). 5. Jeżeli zdający nie uzasadnia istnienia najmniejszej wartości funkcji, to może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie (1 punkt za poprawne wyznaczenie pochodnej, 1 punkt za obliczenie miejsca zerowego pochodnej).

**Wymagania ogólne:** IV. Rozumowanie i argumentacja - stosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach nietypowych. **Wymagania szczegółowe:** XIII.R4) Zdający oblicza pochodną funkcji potęgowej o wykładniku rzeczywistym oraz oblicza pochodną, korzystając z twierdzeń o pochodnej sumy, różnicy, iloczynu, ilorazu […]; XIII.R5) Zdający stosuje pochodną do badania monotoniczności funkcji; XIII.R6) Zdający rozwiązuje zadania optymalizacyjne z zastosowaniem pochodnej.