Prosta w układzie współrzędnych
Zadanie 21, czerwiec 2024, poziom podstawowy
Proste \(k\) i \(l\) są określone równaniami
\[k:\ y=(3m+1)x+2,\qquad l:\ y=-4x+(2m+5).\]
Proste \(k\) i \(l\) są równoległe dla
**A.** \(m=-4\)
**B.** \(m=-\frac53\)
**C.** \(m=-\frac32\)
**D.** \(m=-1\)
Odpowiedź
**B.** \(m=-\frac53\)
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Obie proste są dane w postaci kierunkowej \(y=ax+b\). Proste są równoległe dokładnie wtedy, gdy mają równe współczynniki kierunkowe, czyli równe liczby stojące przy \(x\). Wyraz wolny nie ma tu znaczenia.
**Krok \(2\).** Odczytujemy współczynniki kierunkowe obu prostych:
\[a_{k}=3m+1,\qquad a_{l}=-4.\]
**Krok \(3\).** Zapisujemy warunek równoległości:
\[3m+1=-4.\]
**Krok \(4\).** Rozwiązujemy to równanie liniowe:
\[3m=-4-1,\qquad 3m=-5,\qquad m=-\frac53.\]
**Krok \(5\).** Sprawdzamy, czy proste na pewno nie pokrywają się. Dla \(m=-\frac53\) wyraz wolny prostej \(l\) wynosi
\[2\cdot\left(-\frac53\right)+5=-\frac{10}{3}+\frac{15}{3}=\frac53,\]
a prosta \(k\) ma wyraz wolny \(2\). Wyrazy wolne są różne, więc proste są równoległe i różne.
**Uwaga.** Wyrażenie \(2m+5\) jest wyrazem wolnym, a nie współczynnikiem kierunkowym — nie wolno przyrównywać go do \(2\). Do warunku równoległości wchodzą wyłącznie liczby stojące przy \(x\).
**Odpowiedź.** B. \(m=-\frac53\)
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – odpowiedź poprawna
**0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.
**Wymagania szczegółowe:**
8.2) Zdający bada równoległość prostych na podstawie ich równań kierunkowych.
