Funkcja liniowa
Zadanie 12, czerwiec 2023, poziom podstawowy
Prosta \(y=ax+b\) przechodzi przez punkty \(A=(-3,-1)\) i \(B=(4{,}3)\). Współczynnik a jest równy
A. −\(4\)
B. \(-\frac{1}{2}\)
C. \(2\)
D. \(\frac{4}{7}\)
Odczyt redakcyjny — współrzędne zapisane jak liczba dziesiętna
Prawdopodobny zapis: \(B=(4,3)\) — para współrzędnych, nie liczba dziesiętna 4,3.
makro \(\{,\}\) rozdziela tylko tę parę, sąsiedni \(A=(-3,-1)\) ma zwykły przecinek; \(a=\frac{3-(-1)}{4-(-3)}=\frac{4}{7}\) — wariant D, zgodnie z odpowiedzią i kluczem CKE. Sam mianownik \(7\) jest tu dowodem odczytu: bierze się z \(4-(-3)\), czyli z pierwszej współrzędnej \(B\) równej \(4\), a licznik \(4\) z drugiej współrzędnej równej \(3\); przy odczycie \(B=(4{,}3)\) jako jednej liczby punkt \(B\) nie miałby drugiej współrzędnej.
Odpowiedź
**D.** \(\dfrac{4}{7}\)
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Znamy dwa punkty prostej, a pytanie dotyczy współczynnika kierunkowego \(a\). Mówi on, o ile zmienia się \(y\), gdy \(x\) rośnie o \(1\), więc obliczamy go jako iloraz przyrostów:
\[a=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}.\]
Nie trzeba układać układu równań.
**Krok \(2\).** Wypisujemy współrzędne: \(A=(-3,-1)\), czyli \(x_A=-3\), \(y_A=-1\); \(B=(4,3)\), czyli \(x_B=4\), \(y_B=3\).
**Krok \(3\).** Licznik (przyrost \(y\)):
\[y_B-y_A=3-(-1)=3+1=4.\]
**Krok \(4\).** Mianownik (przyrost \(x\)):
\[x_B-x_A=4-(-3)=4+3=7.\]
**Krok \(5\).** Dzielimy:
\[a=\frac{4}{7}.\]
**Krok \(6\).** Kontrola sensu wyniku: przechodząc od \(A\) do \(B\), zarówno \(x\), jak i \(y\) rosną, więc prosta jest rosnąca i współczynnik \(a\) musi być dodatni. Odpowiedzi A i B (ujemne) odpadają od razu.
**Uwaga.** Odejmowanie współrzędnych ujemnych zamienia się w dodawanie. Ważne też, by w liczniku i w mianowniku odejmować w tej samej kolejności (od \(B\) do \(A\) albo od \(A\) do \(B\)) — zamiana kolejności tylko w jednym miejscu daje błędny znak.
**Odpowiedź.** D: \(\dfrac{4}{7}\)
Klucz i zasady oceniania
1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania egzaminacyjne 2023 i 2024**
**Wymagania ogólne:**
III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji - stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych.
**Wymagania szczegółowe:**
V.6) Zdający wyznacza wzór funkcji liniowej na podstawie informacji o jej wykresie lub o jej własnościach.
