Prosta w układzie współrzędnych
Zadanie 33, czerwiec 2017, poziom podstawowy
Punkty \(A = ( -2, - 8 )\) i \(B = ( 14, - 8 )\) są wierzchołkami trójkąta równoramiennego ABC ,
w którym \(AB = AC\) . Wysokość AD tego trójkąta jest zawarta w prostej o równaniu
\(1\)
\(y = x - 7\) . Oblicz współrzędne wierzchołka C tego trójkąta.
\(2\)
Odczyt redakcyjny — treść w arkuszu jest uszkodzona
Prawdopodobny zapis: wysokość \(AD\) zawiera się w prostej o równaniu \(y=\frac12x-7\).
Samotny token 2 pod zapisem równania to mianownik współczynnika kierunkowego. Sprawdzenie: A = (−2,−8) spełnia to równanie, a wynik C = (38/5, 24/5) jest zgodny z kluczem CKE.
Odpowiedź
\[C=\left(\frac{38}5,\frac{24}5\right).\]
Rozwiązanie krok po kroku
Trójkąt jest równoramienny o ramionach \(AB\) i \(AC\), więc wysokość \(AD\) opuszczona z \(A\) na podstawę \(BC\) dzieli tę podstawę na połowy.
Wysokość leży na prostej \(y=\frac12x-7\), więc podstawa \(BC\) jest do niej prostopadła i przechodzi przez \(B=(14,-8)\):
\[y=-2(x-14)-8=-2x+20.\]
Spodek wysokości \(D\) jest przecięciem obu prostych:
\[\frac12x-7=-2x+20\quad\Longrightarrow\quad \frac52x=27\quad\Longrightarrow\quad x=\frac{54}5,\qquad y=-\frac85.\]
Punkt \(D\) jest środkiem odcinka \(BC\), więc
\[C=\left(2\cdot\frac{54}5-14,\ 2\cdot\left(-\frac85\right)+8\right)=\left(\frac{38}5,\frac{24}5\right).\]
**Odpowiedź.** \(C=\left(\frac{38}5,\frac{24}5\right)\)
Klucz i zasady oceniania
**1–3 pkt** – równanie prostej \(BC\), układ równań i punkt \(D=\left(\tfrac{54}{5},-\tfrac{8}{5}\right)\).
**4 pkt** – \(C=\left(\tfrac{38}{5},\tfrac{24}{5}\right)\).
Wymagania podstawy programowej
IV. Użycie i tworzenie strategii. 8. Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej. Zdający wyznacza równanie prostej równoległej lub prostopadłej do danej prostej i przechodzącej przez dany punkt (8.3) oraz oblicza współrzędne punktu przecięcia dwóch prostych (8.4).
