Czworokąty
Zadanie 32, czerwiec 2017, poziom podstawowy
Ramię trapezu równoramiennego ABCD ma długość \(26\) . Przekątne w tym trapezie są
prostopadłe, a punkt ich przecięcia dzieli je w stosunku \(2 : 3\) . Oblicz pole tego trapezu.
Odczyt redakcyjny — treść w arkuszu jest uszkodzona
Prawdopodobny zapis: „Ramię trapezu równoramiennego \(ABCD\) ma długość \(\sqrt{26}\)”.
opublikowany klucz CKE do tego zadania podaje \(x=\sqrt2\) i pole \(25\); z zależności \(\lvert AD\rvert^2=13x^2\) wynika \(\lvert AD\rvert=\sqrt{26}\). Przy odczycie \(\lvert AD\rvert=26\) byłoby \(x=2\sqrt{13}\), a pole równe \(650\) — sprzecznie z kluczem.Odpowiedź
P = \(25\)
Rozwiązanie krok po kroku
Oznaczmy trapez równoramienny \(ABCD\) o podstawach \(AB\) i \(CD\), a punkt przecięcia przekątnych przez \(O\). Z symetrii trapezu równoramiennego przekątne mają równe długości i dzielą się w tym samym stosunku, więc
\[\lvert AO\rvert=\lvert BO\rvert=3x,\qquad \lvert CO\rvert=\lvert DO\rvert=2x.\]
Przekątne są prostopadłe, więc trójkąt \(AOD\) jest prostokątny o przyprostokątnych \(3x\) i \(2x\), a jego przeciwprostokątną jest ramię \(AD\):
\[\lvert AD\rvert^2=(3x)^2+(2x)^2=13x^2.\]
Z warunku \(\lvert AD\rvert=\sqrt{26}\) otrzymujemy \(13x^2=26\), czyli \(x^2=2\) i \(x=\sqrt2\).
Każda przekątna ma długość \(5x=5\sqrt2\). Pole czworokąta o prostopadłych przekątnych jest połową ich iloczynu:
\[P=\tfrac12\cdot5\sqrt2\cdot5\sqrt2=\tfrac12\cdot50=25.\]
**Odpowiedź.** \(P=25\)
Klucz i zasady oceniania
**1–3 pkt** – oznaczenie odcinków przekątnych jako \(2x\) i \(3x\), wyznaczenie \(x=\sqrt2\) oraz długości przekątnych albo wymiarów trapezu.
**4 pkt** – obliczenie pola \(P=25\).
Wymagania podstawy programowej
III. Modelowanie matematyczne. G10. Figury płaskie. Zdający stosuje twierdzenie Pitagorasa (G10.7). 3. Równania i nierówności. Zdający rozwiązuje równania kwadratowe z jedną niewiadomą (3.4).
