Graniastosłupy
Zadanie 34, czerwiec 2017, poziom podstawowy
′ ′ ′ ′ ′
Podstawą graniastosłupa prostego ABCDA B C D jest romb ABCD. Przekątna AC tego
graniastosłupa ma długość \(8\) i jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem \(30^{\circ}\),
a przekątna BD ′ jest nachylona do tej płaszczyzny pod kątem \(45^{\circ}\) . Oblicz pole powierzchni
całkowitej tego graniastosłupa.
′
D
A ′ C ′
′
B
D
A C
B
Odczyt redakcyjny — treść w arkuszu jest uszkodzona
Prawdopodobny zapis: graniastosłup prosty \(ABCDA'B'C'D'\), przekątna \(AC'\) ma długość \(8\) i jest nachylona do podstawy pod kątem \(30^{\circ}\), a przekątna \(BD'\) — pod kątem \(45^{\circ}\).
Znaki prim oderwane od liter i przeniesione na początek oraz koniec akapitu; ciąg liter D, A, C, B na końcu to etykiety wierzchołków z dołączonego wycinka CKE.
Odpowiedź
\[P_c=64+16\sqrt3.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Przekątna \(AC'\) rzutuje się na podstawę na przekątną \(AC\) rombu, a przekątna \(BD'\) — na przekątną \(BD\). Kąty nachylenia leżą więc w trójkątach prostokątnych \(ACC'\) oraz \(BDD'\), których wspólną przyprostokątną jest wysokość \(H\) graniastosłupa.
Z trójkąta \(ACC'\):
\[H=|AC'|\sin30^{\circ}=8\cdot\frac12=4,\qquad |AC|=|AC'|\cos30^{\circ}=8\cdot\frac{\sqrt3}2=4\sqrt3.\]
Z trójkąta \(BDD'\), w którym kąt nachylenia wynosi \(45^{\circ}\):
\[|BD|=\frac{H}{\tan45^{\circ}}=4.\]
Przekątne rombu są prostopadłe i dzielą się na połowy, więc bok rombu wynosi
\[a=\sqrt{\left(2\sqrt3\right)^{2}+2^{2}}=\sqrt{12+4}=4,\]
a pole podstawy
\[P_p=\frac12|AC|\cdot|BD|=\frac12\cdot4\sqrt3\cdot4=8\sqrt3.\]
Pole powierzchni całkowitej:
\[P_c=2P_p+4aH=16\sqrt3+4\cdot4\cdot4=64+16\sqrt3.\]
**Odpowiedź.** \(P_c=64+16\sqrt3\)
Klucz i zasady oceniania
**1–4 pkt** – wysokość \(4\), przekątne podstawy \(4\sqrt3\) i \(4\), pole podstawy \(8\sqrt3\) oraz bok rombu \(4\).
**5 pkt** – pole całkowite \(64+16\sqrt3\).
Wymagania podstawy programowej
IV. Użycie i tworzenie strategii. 9. Stereometria. Zdający rozpoznaje kąty między odcinkami i płaszczyznami (9.2), kąty między ścianami (9.4) oraz stosuje trygonometrię do obliczeń długości, kątów, pól i objętości (9.6).
