Trójkąty
Zadanie 16, czerwiec 2016, poziom rozszerzony
Punkty \(A=(-7,-2)\) i \(B=(4,-7)\) są wierzchołkami podstawy trójkąta równoramiennego ABC, a wysokość opuszczona z A zawiera się w prostej \(2x+19y+52=0\). Oblicz współrzędne C.
Odpowiedź
C=(\(6\),\(12\)). Wierzchołek C leży na symetralnej podstawy AB, która ma równanie \(11x\)−\(5y\)−\(6=0\). Prosta BC jest prostopadła do wysokości \(2x\)+\(19y\)+\(52=0\) i przechodzi przez B=(\(4\),−\(7\)), więc ma równanie −\(19x\)+\(2y\)+\(90=0\). Rozwiązanie układu tych równań daje C.
Rozwiązanie krok po kroku
Wysokość opuszczona z \(A\) jest prostopadła do boku \(BC\), więc wektor normalny prostej \(2x+19y+52=0\), czyli \([2,19]\), jest wektorem kierunkowym prostej \(BC\). Prosta \(BC\) przechodzi przez \(B=(4,-7)\):
\[19(x-4)-2(y+7)=0,\qquad 19x-2y-90=0.\]
Trójkąt jest równoramienny z \(\lvert AC\rvert=\lvert BC\rvert\), więc \(C\) leży na symetralnej odcinka \(AB\). Środek \(AB\) to \(\left(-\frac32,-\frac92\right)\), a \(\vec{AB}=[11,-5]\), zatem symetralna ma równanie
\[11\left(x+\tfrac32\right)-5\left(y+\tfrac92\right)=0,\qquad 11x-5y-6=0.\]
Rozwiązujemy układ:
\[\begin{cases}19x-2y-90=0\\ 11x-5y-6=0\end{cases}\]
Z pierwszego równania \(y=\frac{19x-90}{2}\); po podstawieniu
\[11x-\frac{5(19x-90)}{2}-6=0,\qquad 22x-95x+450-12=0,\qquad -73x=-438,\qquad x=6,\]
skąd \(y=\frac{114-90}{2}=12\).
Sprawdzenie: \(\lvert AC\rvert=\sqrt{13^2+14^2}=\sqrt{365}\) oraz \(\lvert BC\rvert=\sqrt{2^2+19^2}=\sqrt{365}\).
**Odpowiedź.** \(C=(6,12)\)
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – wyznaczenie równania prostej \(BC\) prostopadłej do danej wysokości.
**2–4 pkt** – wyznaczenie równania symetralnej odcinka \(AB\) i zapisanie układu równań.
**5 pkt** – obliczenie \(C=(6,12)\).
Wymagania podstawy programowej
Klasyfikacja rzeczowa: wyznaczanie symetralnej odcinka i prostej prostopadłej oraz punktu przecięcia prostych w układzie współrzędnych.
