Odczytywanie własności z wykresu
Zadanie 17, czerwiec 2016, poziom rozszerzony
Rozpatrujemy wszystkie walce, których pole powierzchni całkowitej jest równe \(2\pi \). Oblicz promień podstawy walca o największej objętości i podaj tę największą objętość.
Odpowiedź
\(r=\frac{\sqrt3}{3}\) oraz \(V_{\max}=\frac{2\sqrt3}{9}\pi\).
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Oznaczmy przez \(r\) promień podstawy, a przez \(h\) wysokość walca. Z warunku zadania
\[2\pi r^2+2\pi rh=2\pi,\qquad\text{czyli}\qquad r^2+rh=1,\]
skąd \(h=\frac{1-r^2}{r}\). Ponieważ \(r>0\) i \(h>0\), dziedziną jest przedział \(r\in(0,1)\).
**Krok \(2\).** Objętość walca zapisujemy jako funkcję zmiennej \(r\):
\[V(r)=\pi r^2h=\pi r^2\cdot\frac{1-r^2}{r}=\pi\left(r-r^3\right),\qquad r\in(0,1).\]
**Krok \(3\).** Wyznaczamy pochodną i jej miejsce zerowe:
\[V^{\prime}(r)=\pi\left(1-3r^2\right),\qquad V^{\prime}(r)=0\iff r^2=\frac13\iff r=\frac{\sqrt3}{3}.\]
**Krok \(4\).** Badamy znak pochodnej: dla \(r\in\left(0,\frac{\sqrt3}{3}\right)\) jest \(V^{\prime}(r)>0\), a dla \(r\in\left(\frac{\sqrt3}{3},1\right)\) jest \(V^{\prime}(r)<0\). Funkcja \(V\) najpierw rośnie, a potem maleje, więc dla \(r=\frac{\sqrt3}{3}\) osiąga wartość największą.
**Krok \(5\).** Obliczamy tę wartość. Ponieważ \(\left(\frac{\sqrt3}{3}\right)^3=\frac{3\sqrt3}{27}=\frac{\sqrt3}{9}\), to
\[V\left(\frac{\sqrt3}{3}\right)=\pi\left(\frac{\sqrt3}{3}-\frac{\sqrt3}{9}\right)=\pi\cdot\frac{3\sqrt3-\sqrt3}{9}=\frac{2\sqrt3}{9}\pi.\]
Odpowiadająca temu wysokość walca to \(h=\frac{1-\frac13}{\frac{\sqrt3}{3}}=\frac{2\sqrt3}{3}=2r\).
**Odpowiedź.** Największą objętość ma walec o promieniu podstawy \(r=\frac{\sqrt3}{3}\), a ta największa objętość jest równa \(V=\frac{2\sqrt3}{9}\pi\).
Klucz i zasady oceniania
Nie mamy jeszcze opracowanego schematu punktowania do tego zadania.
Wymagania podstawy programowej
Klasyfikacja rzeczowa: modelowanie objętości walca funkcją jednej zmiennej, wyznaczanie dziedziny i optymalizacja z użyciem pochodnej.
