Zadanie 32 – matura z matematyki czerwiec 2012, poziom podstawowy

\[D=(4,15).\]

Wysokość poprowadzona z \(C\) jest prostopadła do prostej \(AB\). Prosta \(AB\) przez \(A=(2,11)\) i \(B=(8,23)\) ma współczynnik kierunkowy \[a_{AB}=\frac{23-11}{8-2}=2,\qquad AB:\ y=2x+7.\] Wysokość ma współczynnik \(-\frac12\) i przechodzi przez \(C=(6,14)\): \[y=-\frac12(x-6)+14=-\frac12x+17.\] Punkt \(D\) jest przecięciem obu prostych: \[2x+7=-\frac12x+17\quad\Longrightarrow\quad \frac52x=10\quad\Longrightarrow\quad x=4,\qquad y=15.\] **Odpowiedź.** \(D=(4,15)\)

**1–3 pkt** – prosta \(AB\), prosta prostopadła przez \(C\) i układ równań. **4 pkt** – \(D=(4,15)\).

Zadanie 32. (0–4) Użycie i tworzenie strategii Wyznaczenie punktu przecięcia się prostych prostopadłych (IV.8.b, 8.c, 8.d) I sposób rozwiązania Wyznaczamy równanie prostej AB: y  2x  7 . Wyznaczamy równanie prostej CD prostopadłej do prostej AB i przechodzącej przez punkt C: 1 y   x 17 . 2  y  2x  7  Zapisujemy układ równań:  1 y   x 17   2 Rozwiązujemy układ równań i zapisujemy współrzędne punktu D: D  4, 15 . Schemat oceniania I sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania zadania ......................................................................................................... 1 pkt  Wyznaczenie równania prostej AB: y  2x  7 albo  obliczenie współczynnika kierunkowego prostej AB: a  2 . 14 Egzamin maturalny z matematyki Kryteria oceniania odpowiedzi – poziom podstawowy Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp ...................................................................... 2 pkt Wyznaczenie równania prostej CD prostopadłej do prostej AB i przechodzącej przez punkt C 1 y   x 17 . 2 Pokonanie zasadniczych trudności zadania ..................................................................... 3 pkt  y  2x  7  Zapisanie układu równań:  1 y   x 17   2 Rozwiązanie pełne ............................................................................................................. 4 pkt Rozwiązanie układu równań i zapisanie współrzędnych punktu D: D  4, 15 . Uwagi 1. Jeśli zdający źle wyznaczy równanie prostej AB i konsekwentnie do popełnionego błędu rozwiąże zadanie do końca, to otrzymuje 3 punkty (współczynnik kierunkowy prostej AB powinien być jednak liczbą dodatnią). 2. Jeśli zdający odczyta współrzędne punktu D na podstawie dokładnie sporządzonego rysunku to otrzymuje 4 punkty. 3. Jeśli zdający poda współrzędne punktu D bez dokładnego rysunku lub uzasadnienia to otrzymuje 0 punktów. II sposób rozwiązania Obliczamy pole trójkąta ABC: P  15 . Obliczamy długość podstawy AB trójkąta ABC: ABC 1 AB  6 5 . Ze związku P  CD  AB obliczamy wysokość CD trójkąta ABC: ABC 2 CD  5 . Wyznaczamy równanie prostej AB: y  2x  7 . Zapisujemy współrzędne punktu D w zależności od zmiennej x: D   x, 2x  7 . Wyrażamy związek CD  5 za pomocą równania  x  62  2x  7 142  5 , gdzie x oznacza pierwszą współrzędną punktu D. Rozwiązujemy równanie i otrzymujemy x  4 . Zapisujemy zatem współrzędne punktu D: D  4, 15 . Schemat oceniania II sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania zadania .......................................................................................................... 1 pkt Obliczenie pola trójkąta ABC: P  15 . ABC Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp ...................................................................... 2 pkt Obliczenie wysokości CD trójkąta ABC: CD  5 . Pokonanie zasadniczych trudności zadania ..................................................................... 3 pkt Zapisanie współrzędnych punktu D w zależności od jednej zmiennej: D   x, 2x  7 i zapisanie równania  x  62  2x  7 142  5 . Rozwiązanie pełne ............................................................................................................. 4 pkt Rozwiązanie równania i zapisanie współrzędnych punktu D: D  4, 15 . Uwaga Jeżeli zdający popełni błąd rachunkowy przy obliczaniu pola trójkąta ABC i konsekwentnie do popełnionego błędu rozwiąże zadanie do końca, to otrzymuje 3 punkty. Egzamin maturalny z matematyki 15 Kryteria oceniania odpowiedzi – poziom podstawowy