Czworokąty
Zadanie 31, czerwiec 2012, poziom podstawowy
Dany jest romb, którego kąt ostry ma miarę \(45^\circ\), a jego pole jest równe \(50\sqrt2\). Oblicz wysokość tego rombu.
Odpowiedź
\(h\) = \(5\sqrt{2}\)
Rozwiązanie krok po kroku
Pole rombu o boku \(a\) i kącie ostrym \(\alpha\) jest równe \(P=a^2\sin\alpha\). Z warunku zadania
\[a^2\cdot\frac{\sqrt2}{2}=50\sqrt2,\qquad a^2=100,\qquad a=10\]
(bierzemy pierwiastek dodatni, bo \(a\) jest długością).
Wysokość rombu to odległość między prostymi zawierającymi dwa przeciwległe boki; z trójkąta prostokątnego przy kącie \(45^\circ\)
\[h=a\sin45^\circ=10\cdot\frac{\sqrt2}{2}=5\sqrt2.\]
**Odpowiedź.** \(h=5\sqrt2\)
Klucz i zasady oceniania
1 pkt: dwa poprawne związki między bokiem i wysokością rombu. 2 pkt: h=5√2.
Wymagania podstawy programowej
Zadanie 31. (0–2)
Użycie i tworzenie strategii Wykorzystanie związków miarowych w figurach płaskich
(IV.7.c)
I sposób rozwiązania
Z warunków zadania otrzymujemy układ równań:
a h 50 2
h
sin 45
a
2 2
Zatem h a sin 45 a oraz a a 50 2 .
2 2
Egzamin maturalny z matematyki 13
Kryteria oceniania odpowiedzi – poziom podstawowy
2
Wobec tego a2 100 , a 10 , h 10 5 2 .
2
Odpowiedź: Wysokość rombu jest równa 5 2 .
Schemat oceniania I sposobu rozwiązania
Zdający otrzymuje ............................................................................................................ 1 pkt
gdy zapisze dwa związki między liczbami a i h i na tym poprzestanie lub dalej popełni błąd.
Zdający otrzymuje ............................................................................................................ 2 pkt
gdy poprawnie obliczy wysokość rombu h 5 2 .
II sposób rozwiązania
Ze wzoru na pole równoległoboku, gdy dane są jego dwa sąsiednie boki oraz kąt między nimi
2
zawarty, mamy a2 sin 45 50 2 . Zatem a2 50 2 , a2 100 , a 10 .
2
Z innego wzoru na pole równoległoboku mamy a h 50 2 .
Wobec tego 10 h 50 2 oraz h 5 2 .
Schemat oceniania II sposobu rozwiązania
Zdający otrzymuje ............................................................................................................ 1 pkt
gdy poprawnie obliczy długość a boku rombu i na tym poprzestanie lub dalej popełni błąd.
Zdający otrzymuje ............................................................................................................ 2 pkt
gdy poprawnie obliczy wysokość rombu h 5 2 .
